Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Статистика. 4 лекция.doc
Скачиваний:
39
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
732.67 Кб
Скачать

[Править] Непараметрическое оценивание математического ожидания.

В непараметрической постановке оценивают либо характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, коэффициент вариации), либо ее функцию распределения, плотность и т. п. Так, в силу закона больших чисел выборочное среднее арифметическое является состоятельной оценкой математического ожиданияM(X) (при любой функции распределенияF(x) результатов наблюдений, для которой математическое ожидание существует). С помощью центральной предельной теоремы определяют асимптотические доверительные границы

.

где γ — доверительная вероятность, — квантиль порядкастандартного нормального распределенияN(0;1) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией,— выборочное среднее арифметическое,s— выборочное среднее квадратическое отклонение. Термин «асимптотические доверительные границы» означает, что вероятности

,

стремятся к ,и γ соответственно при, но, вообще говоря, не равны этим значениям при конечныхn. Практически асимптотические доверительные границы дают достаточную точность приnпорядка 10.

[Править] Непараметрическое оценивание функции распределения.

Второй пример непараметрического оценивания — оценивание функции распределения. По теореме Гливенко эмпирическая функция распределения Fn(x) является состоятельной оценкой функции распределенияF(x). ЕслиF(x) — непрерывная функция, то на основе теоремы Колмогорова доверительные границы для функции распределенияF(x) задают в виде

,

где k(γ,n) — квантиль порядка γ распределения статистики Колмогорова при объеме выборкиn(напомним, что распределение этой статистики не зависит отF(x)).

Правила определения оценок и доверительных границ в параметрическом случае строятся на основе параметрического семейства распределений F(x;θ). При обработке реальных данных возникает вопрос — соответствуют ли эти данные принятой вероятностной модели? Т. е. статистической гипотезе о том, что результаты наблюдений имеют функцию распределения из семействапри некотором θ = θ0Такие гипотезы называют гипотезами согласия, а критерии их проверки — критериями согласия.

Если истинное значение параметра θ = θ0известно, функция распределенияF(x0) непрерывна, то для проверки гипотезы согласия часто применяют критерий Колмогорова, основанный на статистике

,

где Fn(x) — эмпирическая функция распределения.

Если истинное значение параметра θ0неизвестно, например, при проверке гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдения (то есть при проверке принадлежности этого распределения к семейству нормальных распределений), то иногда используют статистику

,

Она отличается от статистики Колмогорова Dnтем, что вместо истинного значения параметра θ0подставлена его оценка θ*.

Распределение статистики Dn*) сильно отличается от распределения статистикиDn. В качестве примера рассмотрим проверку нормальности, когда, а. Для этого случая квантили распределений статистикDnиDn*) приведены в табл. 1 (см., например,[18]). Таким образом, квантили отличаются примерно в 1,5 раза.

[Править] Таблица 1

Квантили статистик Dn и Dn* ) при проверке нормальности

p

0,85

0,90

0,95

0,975

0,99

Квантили порядка p для Dn

1,138

1,224

1,358

1,480

1,626

Квантили порядка p для Dn* )

0,775

0,819

0,895

0,955

1,035