[Править] Непараметрическое оценивание математического ожидания.

В непараметрической постановке оценивают либо характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, коэффициент вариации), либо ее функцию распределения, плотность и т. п. Так, в силу закона больших чисел выборочное среднее арифметическое является состоятельной оценкой математического ожиданияM(X) (при любой функции распределенияF(x) результатов наблюдений, для которой математическое ожидание существует). С помощью центральной предельной теоремы определяют асимптотические доверительные границы

.

где γ — доверительная вероятность, — квантиль порядкастандартного нормального распределенияN(0;1) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией,— выборочное среднее арифметическое,s— выборочное среднее квадратическое отклонение. Термин «асимптотические доверительные границы» означает, что вероятности

,

стремятся к ,и γ соответственно при, но, вообще говоря, не равны этим значениям при конечныхn. Практически асимптотические доверительные границы дают достаточную точность приnпорядка 10.

[Править] Непараметрическое оценивание функции распределения.

Второй пример непараметрического оценивания — оценивание функции распределения. По теореме Гливенко эмпирическая функция распределения F_n(x) является состоятельной оценкой функции распределенияF(x). ЕслиF(x) — непрерывная функция, то на основе теоремы Колмогорова доверительные границы для функции распределенияF(x) задают в виде

,

где k(γ,n) — квантиль порядка γ распределения статистики Колмогорова при объеме выборкиn(напомним, что распределение этой статистики не зависит отF(x)).

Правила определения оценок и доверительных границ в параметрическом случае строятся на основе параметрического семейства распределений F(x;θ). При обработке реальных данных возникает вопрос — соответствуют ли эти данные принятой вероятностной модели? Т. е. статистической гипотезе о том, что результаты наблюдений имеют функцию распределения из семействапри некотором θ = θ₀Такие гипотезы называют гипотезами согласия, а критерии их проверки — критериями согласия.

Если истинное значение параметра θ = θ₀известно, функция распределенияF(x;θ₀) непрерывна, то для проверки гипотезы согласия часто применяют критерий Колмогорова, основанный на статистике

,

где F_n(x) — эмпирическая функция распределения.

Если истинное значение параметра θ₀неизвестно, например, при проверке гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдения (то есть при проверке принадлежности этого распределения к семейству нормальных распределений), то иногда используют статистику

,

Она отличается от статистики Колмогорова D_nтем, что вместо истинного значения параметра θ₀подставлена его оценка θ^*.

Распределение статистики D_n(θ^*) сильно отличается от распределения статистикиD_n. В качестве примера рассмотрим проверку нормальности, когда, а. Для этого случая квантили распределений статистикD_nиD_n(θ^*) приведены в табл. 1 (см., например,^[18]). Таким образом, квантили отличаются примерно в 1,5 раза.

[Править] Таблица 1

Квантили статистик Dn и Dn(θ * ) при проверке нормальности
p	0,85	0,90	0,95	0,975	0,99
Квантили порядка p для Dn	1,138	1,224	1,358	1,480	1,626
Квантили порядка p для Dn(θ * )	0,775	0,819	0,895	0,955	1,035