Лекция 4

Статистическое оценивание параметров распределения и построение

доверительных интервалов (5 часов +4 часа ПЗ)

Основные вопросы лекции:

1. Понятие об оценке параметров.

2. Основные свойства оценок.

3. Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке.

4. Метод максимального правдоподобия.

5. Распределение средней арифметической для выборок из нормальной совокупности.

6. Распределение Стьюдента.

7. Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности

8. Распределение Хи-квадрат Пирсона.

9. Понятие доверительного интервала

10. Доверительная вероятность

11. Построение доверительного интервала для математического ожидания при известном и неизвестном среднем квадратическом отклонении

12. Построение доверительного интервала для дисперсии.

Основные понятия, используемые при оценивании.

Оценивание — это определение приближенного значения неизвестной характеристики или параметра распределения (генеральной совокупности), иной оцениваемой составляющей математической модели реального (экономического, технического и др.) явления или процесса по результатам наблюдений. Иногда формулируют более коротко: оценивание — это определение приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности по результатам наблюдений. При этом параметром генеральной совокупности может быть либо число, либо набор чисел (вектор), либо функция, либо множество или иной объект нечисловой природы. Например, по результатам наблюдений, распределенных согласно биномиальному закону, оценивают число — параметрp(вероятность успеха). По результатам наблюдений, имеющих гамма-распределение, оценивают набор из трех чисел — параметры формыa, масштабаbи сдвигаc. Способ оценивания функции распределения дается теоремами В. И. Гливенко и А. Н. Колмогорова. Оценивают также плотности вероятности, функции, выражающие зависимости между переменными, включенными в вероятностные модели экономических, управленческих или технологических процессов, и так далее. Целью оценивания может быть нахождение упорядочения инвестиционных проектов по экономической эффективности или технических изделий (объектов) по качеству, формулировка правил технической или медицинской диагностики и так далее (Упорядочения в математической статистике называют также ранжировками. Это — один из видов объектов нечисловой природы.)

Оценивание проводят с помощью оценок — статистик, являющихся основой для оценивания неизвестного параметра распределения. В ряде литературных источников термин «оценка» встречается в качестве синонима термина «оценивание». Употреблять одно и то же слово для обозначения двух разных понятий нецелесообразно: оценивание — это действие, а оценка — статистика (функция от результатов наблюдений), используемая в процессе указанного действия или являющаяся его результатом.

Оценивание бывает двух видов — точечное оценивание и оценивание с помощью доверительной области.

[Править] Точечное оценивание

Точечное оценивание — способ оценивания, заключающийся в том, что значение оценки принимается как неизвестное значение параметра распределения.

Пример 2. Пусть результаты наблюденийx₁,x₂,...,x_nрассматривают в вероятностной модели как случайную выборку из нормального распределенияN(m,σ). Т. е. считают, что результаты наблюдений моделируются как реализацииnнезависимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих функцию нормального распределенияN(m,σ) с некоторыми математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением, неизвестными статистику. Требуется оценить параметрыmи σ (или σ²) по результатам наблюдений. Оценки обозначимm* и ( ) * соответственно. Обычно в качестве оценкиm* математического ожиданияmиспользуют выборочное среднее арифметическое, а в качестве оценки (σ²) * дисперсии σ²используют выборочную дисперсию s², то есть

.

Для оценивания математического ожидания m могут использоваться и другие статистики, например, выборочная медиана , полусумма минимального и максимального членов вариационного ряда

и др. Для оценивания дисперсии σ²также имеется ряд оценок, в частности,(см. выше) и оценка, основанная на размахеR, имеющая вид

,

где коэффициенты a(n) берут из специальных таблиц. Эти коэффициенты подобраны так, чтобы для выборок из нормального распределения

.

Наличие нескольких методов оценивания одних и тех же параметров приводит к необходимости выбора между этими методами.