Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

154эл

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
772.56 Кб
Скачать

В данном случае х>0 соответствует сжатию пружины, а х<0 – растяжению пружины.

Итак,

x x0

x02 2x0h v2

x0 8 10 2

м.

 

g

 

 

Пример 4. Стержень массой m = 6 кг и длиной l = 2 м может вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис. 1.4). В конец стержня попадает

пуля массой m0 = 10 г, летевшая со скоростью v0 = 1·103 мс ,

направленной перпендикулярно стержню и оси, и застревает в нем. Определить кинетическую энергию стержня после удара.

Решение. Система состоит из двух тел: стержня и пули. Для решения применим законы сохранения.

По закону сохранения момента импульса m0v0l J ,

где m0v0l - момент импульса пули относительно оси вращения до удара,

J - момент импульса стержня и пули относительно оси вращения после удара.

m0Jv0l .

Момент инерции стержня

21

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jcm

1 ml2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

v0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Момент инерции пули

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

m l 2 .

 

m0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

т.к. m m0 , то

 

 

Рис. 1.4.

 

 

Jn Jcm , то J Jcm

 

1 ml 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

Кинетическая энергия стержня

 

 

 

J 2

 

 

m2v2l2

 

3m2v2

 

 

Eк

 

 

 

 

0 0

 

 

 

0 0 .

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2J

 

 

2m

 

 

 

Eк 25 Дж.

Заметим, что начальная кинетическая энергия пули до удара

E0 m02v0 5 103 Дж, что значительно больше кинетической энергии

системы после удара, т.е. в результате неупругого удара большая часть начальной механической энергии превратилась в немеханические виды энергии.

Пример 5. Материальная точка участвует одновременно в двух

колебаниях

вдоль

оси

ОХ:

x1

 

a

 

2 t

 

 

и

2

3 cos

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

a

 

2 t

 

 

, а

также

вдоль

оси

ОY:

y bcos t .

Найти

2

cos

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

траекторию результирующего колебания.

Решение. Сложим сначала колебания происходящие вдоль оси

ОХ

x x1 x2 , x Acos 2 t .

22

Y

 

 

 

 

 

Для

наглядности

 

 

 

 

 

 

воспользуемся

 

 

 

 

 

графическим

методом

 

 

 

A1

 

сложения

колебаний.

 

 

 

 

Каждому

колебанию х1

 

 

 

 

 

и

х2

поставим

в

 

 

6

A

 

соответствие векторы A1

0

 

 

 

X

и A2 , длины

которых

3

 

 

 

 

равны

амплитудам

 

 

 

 

 

 

соответствующих

 

 

 

 

колебаний,

а

углы

A2

 

 

 

 

наклона к оси ОХ -–

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.5.

 

 

начальным фазам (рис.

 

 

 

 

 

1.5).

 

 

 

 

Тогда

результирующему

колебанию

ставится в

соответствие

вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

Амплитуду результирующего колебания найдем по формулам:

A A12 A22 2A1 A2 cos 2 1 ,

A

3a2

 

a2

a .

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тангенс начальной фазы результирующего колебания

определим по формулам:

 

 

 

 

tg

 

A1 sin 1

A2 sin 2

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A cos

1

A

 

cos

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

3 sin

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6

2

sin

 

3

 

 

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

a

3 cos

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6

2

cos

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

Итак, результирующее колебание вдоль оси ОХ

x a cos 2 t

складываем с колебанием вдоль оси ОY y bcos t .

Чтобы найти траекторию результирующего колебания исключим время.

Уравнение x a cos 2 t представим в виде:

x a 2cos2 t 1 ,

cos t

y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y2

 

 

Тогда

 

 

 

 

- траектория представляет собой параболу

 

2

x a

b

1

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 1.6).

Y

b

2

0

X

-a

 

b2

Рис. 1.6.

24

2. Основы молекулярной физики и термодинамики

2.1. Молекулярно-кинетическая теория

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т.е. устанавливает зависимость между давлением, объемом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул:

p 13 n m0 vкв2 , (42) p n k T , (43)

p 23 n , (44)

где vкв - средняя квадратичная скорость молекул;

- средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул;

n VN - концентрация молекул;

m - масса молекулы газа, m

 

 

;

 

0

0

 

N A

 

 

 

k 1,38 10 23 ДжК - постоянная Больцмана;

V - объем газа;

Nm N A - число молекул газа;

- молярная масса;

25

m - масса газа;

N A 6,02 1023 моль-1 – постоянная Авогадро; v m - количество вещества (число молей).

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

32 kT . (45)

Средняя энергия молекул

2i kT , (46)

где i - число степеней свободы; i 3 - одноатомный газ;

i5 - двухатомный газ;

i6 - многоатомный газ; Сравнивая значения

 

 

 

 

 

m

v2

 

 

 

 

3 kT

 

 

 

 

 

 

 

 

0

кв

 

 

и

 

получим:

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

m

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

кв

 

 

kT

откуда:

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

vкв

 

 

3kT

3RT

, (47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

vкв

- средняя квадратичная скорость молекул;

 

 

 

k

 

 

R ;

 

R k N A ; R 8,31

Дж

- универсальная газовая

 

 

 

m0

 

моль К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

постоянная.

 

Средняя арифметическая скорость молекул

v

8kT

8RT

. (48)

 

m

 

 

 

0

 

 

 

Наиболее вероятная скорость молекул

vв

2kT

2RT

. (49)

 

m0

 

 

26

Распределение Больцмана для молекул во внешнем потенциальном поле (в поле силы тяжести). График приведен на рис. 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n0 e

m0 g h

n0 e

g h

, (50)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k T

 

R T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где n и n0 соответственно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

концентрация молекул на высоте h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и h0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение

 

для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

распределения

Больцмана можно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

преобразовать в барометрическую

 

 

 

 

 

 

 

 

h

формулу, используя

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

p nkT :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p p0 e

 

m0 g h

p0

e

g h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k T

R T , (51)

 

 

 

 

 

 

 

где p и p0

соответственно давление газа на высоте h и h0 .

 

 

Среднее число соударений испытываемых одной молекулой в

единицу времени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2 d 2n v , (52)

 

 

 

 

 

 

 

где d - эффективный диаметр молекулы;

 

 

 

 

 

 

d 2 - эффективное сечение молекулы.

 

 

 

 

 

 

 

Средняя длина свободного пробега молекулы газа:

 

 

l

v

 

 

 

1

 

. (53)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

2 d 2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения состояния идеального газа:

 

 

 

 

 

для одного моля газа -

p V R T , (54)

 

 

 

 

 

 

для произвольного числа молей газа - p V v R T ,

 

 

где v m - число молей.

p V const , (55) T

где V - объем одного моля.

Изотермический процесс (T const , m const ) p1 V1 p2 V2 или p V const . (56)

27

Изобарный процесс ( p const , m const )

V1

V2

или

V

const . (57)

T

T

 

T

 

1

2

 

 

 

Изохорный процесс (V const , m const )

p1

 

p2

или

p

const .

T

T

T

 

 

 

1

 

2

 

 

 

(58)

Для смеси идеальных газов справедлив закон Дальтона

n

p pi , (59)

i 1

где pi - парциальное

давление i-го компонента смеси, т.е. давление, которое производил бы газ, если бы только он один находился в сосуде занятой смесью.

2.2. Основы термодинамики

Первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщаемое системе Q , расходуется на изменение внутренней

энергии dU и на совершение системой работы A против внешних сил:

Q dU A, (60)

где Q - элементарное количество теплоты;

A - элементарная работа;

dU - бесконечно малое изменение внутренней энергии. Внутренняя энергия произвольной массы газа:

Um i RT . (61)

2

Изменение внутренней энергии идеального газа:

dU m i RdT . (62)

2

28

Работа при изменении объема газа:

V2

A pdV , (63)

V1

где V1 и V2 начальный и конечный объем газа.

Работа газа:

при изобарном процессе ( p const )

A p V2 V1 m R T2 T1 , (64)

при изотермическом процессе (T const )

A

m

RT ln V2

 

m

RT ln

p1

 

, (65)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при адиабатном процессе ( Q 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

m i

 

 

 

 

RT1

 

m

 

 

 

 

A

R T1 T2

 

 

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 V

 

 

 

, (66)

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где T1 , T2 и V1, V2 - соответственно начальная и конечная

температуры и объемы газа.

Процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой ( Q 0) называется адиабатным.

pV

где

Уравнение адиабатного процесса:

const ,

TV 1 const ,

T p1 const , (67)

C

p - показатель адиабаты.

CV

График адиабатного процесса рис. 2.3. p

Изотерма

Адиабата

V

Рис. 2.3.

29

Количество теплоты при малом изменении температуры:

Q cmdT , (68)

где c - удельная теплоемкость. Теплоемкость массы газа:

C m dQT .

Удельная теплоемкость: c mdQT .

Связь между молярной C и удельной теплоемкостями газа:

C c .

Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении:

CV 2i R , Cp i 2 2 R . (69)

Уравнение Майера:

Cp CV R i 2 2 R . (70)

Количество теплоты сообщаемое термодинамической системе в изопроцессах:

при изохорном процессе ( A 0 ): dQ m CV dT ; (71)

при изобарном процессе: dQ m CV dT m RdT . (72)

Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла):

 

A

 

Q1 Q2

1

Q1

, (73)

Q

 

 

Q

 

Q

 

 

1

 

1

 

2

 

где Q1 - количество теплоты, полученное системой от нагревателя; Q2 - количество теплоты, отданное системой холодильнику;

A - полезная работа совершаемая за цикл.

Термический коэффициент полезного действия цикла Карно:

T1 T2 1 T2 , (74)

T1 T1

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]