Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

154эл

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
772.56 Кб
Скачать

r – ее радиус-вектор.

Модули момента силы и момента импульса соответственно равны:

M Fr sin ;

L mvr sin ,

где – угол между направлением действия силы (импульса) и радиус–вектором r , проведенным от центра вращения к точке

приложения силы (импульса).

Основное уравнение динамики вращательного движения:

M d J , (24) dt

где J L – момент импульса тела;

M – момент силы, действующей на тело;

J- момент инерции тела.

Вслучае постоянного момента инерции твердого тела основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

M J , (25)

где - угловое ускорение.

Момент инерции системы N материальных точек относительно оси вращения

N

 

J mi Ri2 . (26)

i 1

 

Момент инерции твердого тела относительно оси

J R2dm

R2dV , (27)

m

V

где ,dV - плотность тела и элемент объема соответственно;

11

R – расстояние от элемента объема до оси.

Таблица 1

Моменты инерции некоторых тел

Форма тела

 

Положение оси

 

Момент инерции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однородный

Ось

проходит

через

центр

J

 

1 mR2

диск (цилиндр)

диска

 

(цилиндра)

 

 

2

 

 

перпендикулярно к плоскости

 

 

 

 

 

основания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однородный

Ось

проходит

через

центр

J

 

2 mR2

шар

шара

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

Однородный

а) ось проходит через его

J

 

1 ml 2

стержень

центр

масс перпендикулярно

 

 

 

 

 

12

 

 

к его оси

 

 

J

1 ml2

 

б) ось проходит через конец

 

 

 

3

 

 

стержня перпендикулярно к

 

 

 

 

 

стержню

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тонкое кольцо,

Ось

проходит

через

центр

J mR2

обруч

кольца перпендикулярно его

 

 

 

 

 

плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если для какого-либо тела известен его момент инерции J0 относительно оси, проходящей через центр инерции, то момент инерции относительно произвольной оси, параллельной первой, может быть найден по формуле (теорема Штейнера)

J J0 md 2 , (28)

где m – масса тела;

12

L const .

d – расстояние между осями.

Закон сохранения момента импульса: если результирующий момент внешних сил равен нулю ( M 0 ), то момент импульса этой системы есть величина постоянная, т.е.

ddLt 0 ,

Для тела, момент инерции которого может меняться

J1 1 J2 2 ,

где J1, J2 – начальное и конечное значение момента инерции;1 , 2 - начальная и конечная угловая скорость.

Работа момента силы, действующего на вращающееся тело

2

A Md , (29)

1

где d - угол поворота.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Eк J 2 2 . (30)

1.4. Механические колебания

Дифференциальное уравнение движения тела, совершающего свободные колебания

x 2 x 02 x 0, (31)

где х – смещение тела от положения равновесия;

13

x v - первая производная смещения по времени – скорость колеблющейся точки;

x a - вторая производная смещения по времени – ускорение колеблющейся точки;

- коэффициент затухания;

0 - собственная циклическая частота колебаний.

Общим решением этого уравнения является уравнение вида x t A0e t cos t 0 , (32)

02 2 .

При 0 колебания называются затухающими.

Логарифмический декремент затухания

ln A t T , (33) A t T

где A t , A t T - амплитуды двух последовательных колебаний.

Если 0, то колебания называются незатухающими

гармоническими. Тогда дифференциальное уравнение незатухающих колебаний

x 02 x 0 (34)

его решение

x Acos 0t 0 или x Asin 0t 0 . (35)

Оба эти уравнения гармонического колебания эквивалентны и легко преобразуются одно в другое путем соответствующего выбора начальной фазы.

14

T 2

Если смещение определяем уравнением: x Acos 0t 0 ,

то скорость точки, совершающей гармонические колебания v dxdt x A 0 sin 0t 0 ,

ускорение a ddvt x A 02 cos 0t 0 .

Гармонические колебания происходят под действием силы

F kx ,

где k m 02 .

Период колебаний тела, подвешенного на пружине

T 2

m

, (36)

 

k

 

где k – жесткость пружины; m – масса тела.

Период колебаний физического маятника

mgdJ , (37)

где J – момент инерции тела относительно оси колебаний; d – расстояние от оси колебания до его центра масс;

 

J

lпр - приведенная длина физического маятника.

 

md

 

 

 

 

 

Период колебаний математического маятника:

T 2

 

l

, (38)

 

 

 

 

 

g

15

где l – длина маятника.

Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и равна

m 2 A2

E 0 . (39)

2

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода, амплитуда которого А и начальная фаза 0

определяются уравнениями:

A

A2

A2 2A A cos

2

 

, (40)

 

 

1

2

1

2

 

1

 

 

tg 0

 

A1 sin 1

A2 sin 2

. (41)

 

 

A1 cos 1

A2 cos 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Траектория точки, участвующей в двух взаимно

перпендикулярных колебаниях x A1 cos t и y A2 cos t

а)

если разность фаз складываемых колебаний 0 ,

- прямая

линия;

 

 

 

 

 

 

 

 

б) если разность фаз 2 - уравнение эллипса.

Чтобы найти траекторию результирующего колебания надо исключить время.

16

1.5. Примеры решения задач

Пример 1. Скорость

 

материальной

точки

изменяется

по закону

 

3

 

 

2

 

 

 

 

м

 

3

 

м

v 2t

 

i

sin

 

t

j

, где

1

 

,

1 с ,

1

с .

 

3

с4

Определить закон движения, если в начальный момент времени t=0

тело находилось

в

начале

координат,

т.е.

r0 0,0,0 . Определить

вектор ускорения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Закон движения r r t

и вектор скорости v

связаны

дифференциальным уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

dx

dy

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v dt dt i

dt

j

dt k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

нашем

случае

из

условия

 

 

3

 

 

2

 

 

v 2t

 

i sin

3

t j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

запишем компоненты скорости vx , v y , vz

vx 2t3 ;

 

2

 

 

v y sin

 

t

;

3

 

 

 

 

 

По определению:

 

 

 

vx

dx ;

v y dy

;

vz dz .

 

 

 

dt

 

dt

 

dt

 

 

dx

2t3

;

dy

 

2

 

;

dt

dt

 

sin

3

t

 

 

 

 

 

 

vz 0 .

dzdt 0 .

Разделим переменные и проинтегрируем

dx 2t3 dt ;

 

2

 

dy sin

3

t dt .

 

 

 

dx 2 t3dt dt ;

 

2

 

dy sin

3

t dt ;

 

 

 

17

z c3 .

Получим:

 

t 4

 

t 4

 

 

x

 

t c1

 

 

 

c1;

2

 

2

t

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

y

 

cos

 

t

c2 ,

2

3

 

 

 

 

где с1, с2 – постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий. Учитывая, что х=0, y=0 при t=0 получаем, с1=0,

c2

 

3

 

, с3=0. Тогда закон движения материальной точки:

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

3

2

 

r

t

2

t i

 

 

cos

3

t

1 j .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Зная компоненты вектора скорости найдем компоненты вектора ускорения

ax

dv

x

 

;

ay

 

dv y

 

; az

 

dv

z

;

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

ax 6 t3 ;

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

ay

 

 

 

cos

 

 

 

t

; az 0

;

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 t

3

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

i

3

cos

3

t j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону10 20t 2t 2 . Найти величину и направление полного ускорения

точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

18

Решение. Точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки:

a an2 a2 ;

a R ;

a

n

2 R ,

 

 

 

где a , an - тангенциальное и нормальное ускорение точки;

- угловое ускорение;- угловая скорость.

d 20 4t , dt

d 4 . dt

Согласно полученному выражению, угловое ускорение не зависит от времени, т.е. const .

Тогда

a 4 R2 2 R2 R 4 2 0,1 44 4 2 1,65 см2 .

Из рис. 1.2 найдем направление полного ускорения

cos

 

 

an

 

 

 

 

1,6

0,97 ,

т.е. 140 .

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

1,65

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Гиря, положенная на верхний конец пружины, сжимает ее на х0 = 1 мм. На сколько сожмет пружину эта же гиря, падающая

вертикально вниз с высоты h = 0,2 м с начальной скоростью v0 = 1 мс ?

19

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевой уровень отсчета высоты выберем верхний край деформированной пружины.

Механическая энергия системы в начальном положении

 

 

 

 

E

mg h x mv2 .

 

 

Х

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

конечном положении система

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обладает энергией Е2

 

 

v

 

 

 

 

 

h

E2

kx

2

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

2

 

х

где k – коэффициент жесткости пружины и согласно определению F kx0

Рис. 1.3.

k

F

mg .

x0

 

 

x0

Тогда согласно закону сохранения механической энергии Е1=Е2

mg h x mv2

mgx2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2x0

 

 

 

 

 

 

 

 

Решаем уравнение

 

 

 

 

mgx

2

 

 

 

 

 

 

mv2

0 ,

2x0

mgx mgh

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

2x0 x 2x0h

 

g

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

x2

2x

h v2

x

 

.

1,2

 

 

0

 

0

 

0

 

 

g

 

0

 

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]