1.5.1 Однофакторный дисперсионный анализ

Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак.

Дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора.

Для этих выборок предполагают, что они имеют разные выборочные средние и одинаковые выборочные дисперсии. Поэтому необходимо ответить на вопрос, оказал ли этот фактор существенное влияние на разброс выборочных средних или разброс является следствием случайностей, вызванных небольшими объемами выборок. Другими словами если выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, то разброс данных между выборками (между группами) должен быть не больше, чем разброс данных внутри этих выборок (внутри групп).

Пусть – – элемент () -выборки (), где – число выборок, – число данных в - выборке. Тогда – выборочное среднее - выборки определяется по формуле:

(10)

Общее среднее определяется по формуле:

, (11)

где .

Общее тождество дисперсионного анализа имеет вид:

, (12)

где - сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего (сумма квадратов отклонений между группами); - сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней (сумма квадратов отклонений внутри групп); - общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего среднего .

Расчет сумм этих квадратов отклонений осуществляется по следующим формулам:

; (13)

; (14)

. (15)

В качестве критерия необходимо воспользоваться критерием Фишера:

(16)

Если расчетное значение критерия Фишера будет меньше, чем табличное значение – нет оснований считать, что независимый фактор оказывает влияние на разброс средних значений (измерения статистически однородны), в противном случае, независимый фактор оказывает существенное влияние на разброс средних значений (измерения в группах статистически неоднородны) ( – уровень значимости, уровень риска, обычно для экономических задач ).

1.5.2 Корреляционный анализ

Корреляционный анализ -  совокупность основанных на математической теории корреляции методов обнаружения корреляционной зависимости между двумя случайными признаками или факторами. Корреляционый анализ экспериментальных данных заключает в себе следующие основные практические приёмы:

1) построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы;

2) вычисление выборочных коэффициентов корреляции или корреляционного отношения;

3) проверка статистической гипотезы значимости связи.

Дальнейшее исследование заключается в установлении конкретного вида зависимости между величинами. Зависимость между тремя и большим числом случайных признаков или факторов изучается методами многомерного корреляционного анализа. (вычисление частных и множественных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений).

Корреляционное поле и корреляционная таблица являются вспомогательными средствами при анализе выборочных данных. При нанесении на координатную плоскость выборочных точек получают корреляционное поле. По характеру расположения точек поля можно составить предварительное мнение о форме зависимости случайных величин (например, о том, что одна величина в среднем возрастает или убывает при возрастании другой). Для численной обработки результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке корреляционной таблицы приводятся численности гц; тех пар(х, у), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной.

       Предполагая длины интервалов группировки (по каждому из переменных) равными между собой, выбирают центры x_i (соответственноy_j) этих интервалов и числа n_ij в качестве основы для расчётов.

      

   Коэффициент корреляции дает более точную информацию о характере и силе связи, чем картина корреляционного поля.

Коэффициент корреляции — это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной — минус 1. Корреляция считается сильной, если ее коэффициент выше 0,60; если же он превышает 0,90, то корреляция считается очень сильной.

Коэффициент корреляции Браве-Пирсона (r) — это параметрический показатель, для вычисления которого сравнивают средние и стандартные отклонения результатов двух измерений. При этом используют формулу (у разных авторов она может выглядеть по-разному)

(17)

где ΣX*Y — сумма произведений данных из каждой пары;  n-число пар; — средняя для данных переменной X; — средняя для данных переменной Y S_x — стандартное отклонение для распределения х; S_y — стандартное отклонение для распределения у

Коэффициент корреляции рангов Спирмена (r_s) — это непараметрический показатель, с помощью которого пытаются выявить связь между рангами соответственных величин в двух рядах измерений.

Этот коэффициент рассчитывать проще, однако результаты получаются менее точными, чем при использовании r. Это связано с тем, что при вычислении коэффициента Спирмена используют порядок следования данных, а не их количественные характеристики и интервалы между классами. Дело в том, что при использовании коэффициента корреляции рангов Спирмена (r_s) проверяют только, будет ли ранжирование данных для какой-либо выборки таким же, как и в ряду других данных для этой выборки, попарно связанных с первыми. Если коэффициент близок к +1, то это означает, что оба ряда практически совпадают, а если этот коэффициент близок к -1, можно говорить о полной обратной зависимости.

Коэффициент r_s вычисляют по формуле

(18)

где d — разность между рангами сопряженных значений признаков (независимо от ее знака), а — число пар.

Обычно этот непараметрический тест используется в тех случаях, когда нужно сделать какие-то выводы не столько об интервалах между данными, сколько об их рангах, а также тогда, когда кривые распределения слишком асимметричны и не позволяют использовать такие параметрические критерии,

как коэффициент r (в этих случаях бывает необходимо превратить количественные данные в порядковые).