Биномиальный закон распределения

Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальный закон распределения. Биномиальное распределение имеет место в следующих условиях. Пусть случайная величина  - число появлений некоторого события  в независимых испытаниях, вероятность появления  в отдельном испытании равна . Данная случайная величина является дискретной случайной величиной, ее возможные значения . Вероятность того, что случайная величина  примет значение  вычисляется по формуле Бернулли: .

Определение 15. Закон распределения дискретной случайной величины  называется биномиальным законом распределения, если вероятности значений случайной величины вычисляются по формуле Бернулли. Ряд распределения будет иметь вид:

	0	1	...
			...

Убедимся, что сумма вероятностей различных значений случайной величины равна 1. Действительно,

Так как при данных вычислениях получилась биномиальная формула Ньютона, поэтому закон распределения называется биномиальным. Если случайная величина  имеет биномиальное распределение , то ее числовые характеристики находятся по  формулам:

 (41)

 (42)  (43)

Пример 15.Имеется партия из 50 деталей. Вероятность брака для одной детали . Пусть случайная  величина  - число бракованных деталей в данной партии. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины. Решение. Случайная величина  имеет биномиальное распределение, так как вероятность того, что она примет значение  вычисляется по формуле Бернулли. Тогда ее математическое ожидание находится по формуле (41), а именно, ; дисперсию находим по формуле (42): . Тогда среднее квадратичное отклонение будет равно . Вопрос. Приобретено 200 лотерейных билетов, вероятность выигрыша одного билета равна 0,01. Тогда среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, равно: а) 10; б) 2; в) 20; г) 1.

в)

а)

г)

б)

Закон распределения Пуассона

При решении многих практических задач приходится иметь дело с дискретными случайными величинами, которые подчиняются закону распределения Пуассона. Типичными примерами случайной величины, имеющей распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за некоторое время ; число отказов сложной аппаратуры за время , если известно, что отказы независимы друг от друга и в среднем на единицу времени приходится  отказов.Ряд распределения будет иметь вид:

	0	1	...		...
			...		...

То есть вероятность того, что случайная величина  примет значение  вычисляется по формуле Пуассона: поэтому данный закон и называется законом распределения Пуассона. Случайная величина, распределенной по закону Пуассона, имеет следующие числовые характеристики:

 (44)  (45)

(46)

Распределение Пуассона зависит от одного параметра , который является математическим ожиданием случайной величины. На рисунке 14 показан общий вид многоугольника распределения Пуассона при различных значениях параметра .

Рис.14

Распределение Пуассона может быть использовано как приближенное в тех случаях, когда точным  распределением случайной величины является биномиальное распределение, при этом число испытаний велико, а вероятность появления события  в отдельном испытании мала, поэтому закон распределения  Пуассона называют законом редких событий. А еще, если математическое ожидание мало отличается от  дисперсии, то есть когда . В связи с этим распределение Пуассона имеет большое количество  различных приложений. Пример 16. Завод отправляет на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,002. Найти математическое ожидание числа поврежденных при перевозке деталей. Решение. Случайная величина  имеет распределение Пуассона, поэтому . Вопрос. Вероятность искажения символа при передаче сообщения равна 0,004. Чтобы среднее число искаженных символов было равно 4, надо передать 100 символов.

верно

неверно