Синтез цифровых систем автоматического регулирования. Обеспечение заданной точности.

Ранее было показано, что частотные характеристики цифровых систем в области низких частот для значений <2/T практически совпадают с частотными характеристиками непрерывной части разомкнутой системы. Это оказывается справедливым для цифровых систем при линеаризации задачи и в предположении, что передаточная функция самой цифровой части D(z)=1 или в общем случае D(z)==const.

Кроме того, следует заметить, что для обеспечения необходимого запаса устойчивости приходится всегда выбирать желаемую ЛАХ, чтобы удовлетворялось условие _cp<2/T, где _cp- частота среза. Поэтому на импульсные и цифровые системы можно распространить правила построения запретной области для ЛАХ, рассмотренные ранее. На рисунке показано построение запретной области ЛАХ в случае использования астатической системы регулирования.

Эта область построена в функции псевдочастоты =2/T tg(T/2). Для частот меньших чем частота среза <_cp псевдочастота практически совпадает с обычной круговой частотой .

-20

g_m=²_m/a_m

Ак

_g=a_m/

-40

20lg(g_m/_m)



_g=a_max/_max

Частота контрольной точкиA_к опеделяется формулой _g=a_max/_max , где a_max и _max максимальные значения скорости и ускорения воздействия g(t) на входе.

Базовая частота

K_a- добротность по ускорению

_max- максимально допустимое значение ошибки.

Расчет дискретных корректирующих средств.

Корректирующие средства могут быть реализованы на ЭВМ, включенной в контур регулирования. Для этого формируется требуемый алгоритм ее работы, который определяется передаточной функцией D(z).Дискретные корректирующие средства могут быть также осуществлены на дискретных фильтрах и других цифровых устройствах.

Пусть тем или иным путем найдена желаемая дискретная передаточная функция разомкнутой системы

W_ж(z)=^Фж(z)/_[1-Фж(z)]=D(z)W(z)

где Ф_ж(z)– желаемая передаточная функция замкнутой системы

W(z)– передаточная функция исходной нескорректированной системы.

Тогда искомая передаточная функция ЦВМ имеет вид

D(z)=^Фж(z)/_[1-Фж(z)]  ¹/_W(z)

Формирование желаемой функции Ф_ж(z)производится с учетом некоторых ограничений.

1. Необходимо, чтобы передаточная функция Ф_ж(z)содержала в качестве своих нулей все те нули передаточной функцииW(z),модуль которых равен или больше единицы.

2. Кроме того, необходимо, чтобы выражение 1-Ф_ж(z)содержало в качестве своих нулей все те полюсыW(z),модуль которых равен или больше единицы. Невыполнение этих условий вызывает нарушение требований к грубости системы и вызывает ее неустойчивость, так как приводит к неустойчивым линейным программам ЦВМ, которые должны реализовать получающуюся по полученной формуле передаточную функциюD(z).

3. Кроме того, получающаяся дробно-рациональная передаточная функция D(z)не должна иметь степень числителя выше, чем степень знаменателя, так как это приводит к необходимости знания будущего значения входного сигнала, что не может быть реализовано.

Пример.Передаточная функция непрерывной частиW₀(s)=K₂/s²;K₂=1с^-2;T=1c. Определить закон управления, реализуемый при помощи ЦВМ, который обеспечил бы системе конечное время переходного процесса.

Дискретная передаточная функция непрерывной части системы

Желаемую передаточную функцию замкнутой системы возьмем в виде

Ф_ж(z)= 0.5(z^-1+z^-2)

П

X(z)=Ф(z)G(z)=0.5(z^-1+z^-2) = =0.5z^-1+z^-2+z^-3+...

_z_ 0.5z²+0.5z

z-1 z³-z²

ри этом переходные процессы в системе будут заканчиваться за два периода дискретности

Дискретная передаточная функция ЦВМ равна

Отсюда закон уравнения, реализуемый ЦВМ, может быть записан в виде рекуррентного соотношения. Так как

D(z)=U[z]/E[z]

U[nT]=[nT]-2[(n-1)T]+ [(n-2)T]+0.5u[(n-1)T]+0.5u[(n-2)T].

Дискретные корректирующие средства могут быть рассчитаны с применением дискретных частотных передаточных функций, то есть в частной области.

W_пк (j)= W_ж(j)/ W(j),(*)

или соответствующие им частные характеристики

L_пк ()= L_ж()- L().

После определения W_пк (j)подстановкойj=2w/T можно получить передаточную функциюW_пк(w)затем, переходя отw- преобразования кz-преобразованию подстановкойw=(z-1)/(z+1),получимW_пк(z).

Сформулированные выше ограничения по отношению к (*)имеют следующий вид :

1. Необходимо, чтобы W_ж (j)содержала в качестве своих нулей и полюсов по переменнойjвсе те нули и полюсы, которые лежат в правой полуплоскости.

2. Необходимо, чтобы получающаяся дробно-рациональная функция W_пк(j)имела степень числителя меньше, чем степень знаменателя.

Пример.Пусть в цифровой системе с экстраполятором нулевого порядкаW₀(s)=K_/s²W₀(z)=^(z-1)/_z Z{K_/s³}=

Дискретная частотная передаточная функция

.

Примем в качестве желаемой ЛАХ L_ж’, соответствующей типовой передаточной функции разомкнутой системы

Так как T_i<T/2; T_i=0

Дискретная частотная передаточная функция последовательного корректирующего устройства

.

Переход к передаточной функции ЦВМ дает

Выражение определяет неустойчивую программу, так как полюс передаточной функции z₁=-1соответствует колебательной границе устойчивости. Заметим, что получившаясяW_пк(j)не может быть реализована, вообще говоря, и в непрерывном варианте. Эта функция соответствует бесконечному подъему усиления при росте частоты до бесконечности.

Для исключения этого явления примем желаемую ЛАХ L_ж’’ в другом виде

Тогда .

Переход к передаточной функции ЦВМ дает

.

Этой передаточной функции соответствует устойчивая программа ЦВМ. При этом для обеспечения запаса устойчивости, оцениваемого показателем колебательности не менее, чем М1.5 необходимо выполнить следующие ограничения. Для базовой частоты

,

Допустимое значение малых постоянных времени

Закон управления реализуемый ЦВМ

U[nT]=b₀[nT]+b₁[(n-1)T], так как

То есть используется управление по отклонению и первой разности.