- •Дискретные системы автоматического управления. Основные положения.
- •Математические методы описания дискретных систем Решетчатые функции
- •В соответствии с этим значение рассматриваются на полуинтервале
- •Функции f[nT, t] являются функциями двух переменных (аргументов) n и , поэтому целесообразно обозначать эти функции как
- •Дискретное преобразование Лапласа.
- •Свойства z-преобразования.
- •Передаточные функции дискретных систем
- •Определение процессов в импульсных системах при типовых воздействиях.
- •Далее определим вычеты в полюсах передаточной функции ф(z,). Для простых полюсов получим
- •Учитывая, что ф(z,) является дробно-рациональной по отношению к переменной z и обозначая
- •Анализ устойчивости дискретных систем.
- •Критерий Рауса-Гурвица.
- •Частотные характеристики
- •Построение лчх дискретных систем Построение низкочастотной части лчх
- •Построение высокочастотной части цифровых систем с экстраполятором нулевого порядка.
- •Синтез цифровых систем автоматического регулирования. Обеспечение заданной точности.
- •Расчет дискретных корректирующих средств.
Дискретное преобразование Лапласа.
Для использования импульсных систем автоматического регулирования, а также в других прикладных задачах, связанными с решетчатыми функциями и разностными уравнениями, используется преобразование, определяемое формулой
F*(q)= e-qnf[n] (1)
Где q=+ - комплексная переменная.
Оно называется дискретным преобразованием Лапласа, а также D-преобразованием и сокращенно обозначается D{f[n]}, т.е.
F*(q)=D{f[n]}
Функция F*(q), определяемая (1) называется изображением. Дискретное преобразование Лапласа может быть определено и для смещенных решетчатых функций в соответствии с формулой
F*(q, )=D{f[n, ]}=e-qnf[n, ] (2)
Где - параметр, принимающий значения на отрезке [0,1].
Наряду с D - преобразованием в теории автоматического регулирования применяется так называемое Z-преобразование, определяемое (1), (2), в которых используется новая переменная
z=eq
F*z(z)= z-nf[n]
Z-преобразование принято обозначать так
Z{f[n]}=F*z(z)
Если известно изображение F*(q) некоторой решетчатой функции, то соответствующее изображение F*z(z) может быть найдено с помощью замены комплексной переменной q по формуле
q=ln zF*z(z)= F*(ln z)
Аналогично можно определить изображение F*(z)
F*(q)= F*z(eq).
Таким образом, принципиальной разницы между D - преобразованием и Z-преобразованием не существует. Все основные свойства Z-преобразования могут быть получены из соответствующих свойств D-преобразования.
Отметим, что D-преобразование решетчатой функции f[n] можно рассматривать как обычное преобразование Лапласа функции, состоящей из последовательности смещенных дельта-функций
g(t)= f[n](t-n)
Применяя к этой функции преобразование Лапласа на основании фильтрующего свойства -функции получим
L[g(t)]=g(t)e-qtdt= f[n] (t-n)e-qtdt= f[n] (t-n) e-qtdt=
= f[n] e-qn=D{f[n]}
Формула обращения определяет решетчатую функцию f[n] по заданному изображению F*(q)
f[n]=D-1{F(q)} (n0)
D-1-преобразование определяется формулой
f[n]=F*(q)eqndq (n0)
где с>e; e- абсцисса абсолютной сходимости.
Для смещенных решетчатых функций формула D-1-преобразования имеет вид
f[n,]=F*(q, )eqndq
Наконец, формула обращения Z-преобразования, которая получается из предыдущей путем замены z=eq
f[n]= F*(z, )zn-1dt
интегрирование производится по окружности c радиуса eс, где c>e в положительном направлении. К последующему выражению можно применить теорему о вычетах, согласно которой получим
f[n]= ResF*(z,)zn-1 z=z,
где z= z - полюса функции F*(z, )zn-1, лежащие внутри окружности с.
Однако более удобен путь разложения функции F*[z,] в ряд Лорана по убывающим степеням z. Коэффициенты при соответствующих степенях z равны значениям оригинала в дискретные моменты времени t=nT, где n=0,1,2… Т. к. Z - преобразование представляет собой дробно-рациональную функцию, то разложение в ряд Лорана можно делать делением числителя на знаменатель выражения F*(z,).
Таким образом, проводя разложение в ряд
F*(z,)=a0()+a1()z-1+…+ an()z-n+…+…
Получаем f[n, ]=an(), n=0, 1, 2…
Примеры
F*(q)=D{1[n]}=e-qn1[n]
при условии, что Re q>0 этот ряд сходится, т.к. сумма ряда, изображение функции 1[n], равна
F*(q)= e-qn= , абсцисса абсолютной сходимости l =0
F*(z)=
D{e n}, - любое вещественное число
D{ e n }=e-q ne n=e-n(q-)==,
т.е. F*(q)= , а F/(z)=, гдеd=e
Здесь абсцисса абсолютной сходимости l=
Найти оригинал, соответствующий изображению.
F*z(z)=.
Разложим F*(z) в ряд Лорана путем деления числителя на знаменатель
_Tz Z2-2z+1
Tz-2T+Tz-1 z-1+2Tz-2+3Tz-3+…
0_2T-Tz-1
2T-4Tz-1+2Tz-2
0_3Tz-1-2Tz-2
3Tz-1-6Tz-2+3Tz-3
0 4Tz-2-3Tz-3
получим f[n]=an=nT, n=0, 1, 2,… чему соответствуе непрерывная функция f(t)=t при T=1
4. F*z(z)= , где d=e-;
f[n]=ne-(n-1). Здесь Т=1