Свойства z-преобразования.

1. Свойство линейности. Для краткости записи приводим при =0. Равенства справедливы и при 0.

Если решетчатые функции f₁[n], f₂[n]… f_k[n] являются оригиналами и их изображения соответственно F₁(z), F₂(z)…F_k(z), то справедливо равенство

Z{_f_[n]}= _F_(z), где _-произвольная постоянная.

Пример. Найти изображения тригонометрических решетчатых функций sin n и cos n (n0)

Z{ sin n}= Z{l^jn- l^-jn}= [Z{ l^jn }-Z{ l^-jn }]

Используя результаты предыдущего примера, получим

Z{ sin n }= [ - ]=[]=

(T=1)

Аналогично для косинуса

Z{ cos n }=

2. Теорема смещения. Для функции времени f(t-), где - положительное число, причем 0< и f(t-)0 при t<<

Z{f(t-)= Z^-(1+m)F(z, 1+-)},

Здесь m- целая, - дробная часть числа , а

F(z, )= Z{f(t)} (*)

Если <1, то изображение равно

Z{f(t-)}=Z^-mF(z, -).

В частном случае запаздывание может составлять целое число периодов дискретности т.е.

=mT. Тогда

Z{f(t-mT)=z^-mF(z, )}

3. Теорема об умножении оригинала f(t) на экспоненту.

Если для оригинала f(t) изображение определяется формулой

F(z,)=Z{f(t)}(*) определяемой в дискретные моменты времени t=nT+, то

Z{e^T f(t)}= d^F(,), где - комплексное число, а d=e^T

4. Теорема об умножении оригинала на смежную функцию.

Пусть для оригинала f(t) изображение определяется формулой (*), тогда для =0 имеем

Z{t^mf(t)}=(-1)^m _e^qT=_Z

5. Изображение конечных разностей.

Z{^kf[n,]}=(z-1)^kF(z,)-

Если дискретной последовательности f[n, ] соответствуют нули в первых k точках оси времени, т.е.

f[0, ]=f[1, ]=…f[(k-1), )]= 0, то ^f[0,]=0 =1,k-1

Тогда Z{^kf[n,]}=(z-1)^kF(z,).

Для обратной разности справедливо выражение

Z{^k f[n, ]}= ()^k F(z, ),

6. Изображение конечной суммы.

Если для оригинала f(t) изображение определяется формулой (*), то

Z{ f[,]}=

7. Сверка решетчатых функций.

Если Z{f₁[n,]}=F₁(z,);

Z{f₂[n,]}=F₂(z,), то

Z{ f₁[,]f₂[(n-)],}= Z{f₁[(n-),]f₂[,]}=F₁(z, )F₂(z, )

8. Теорема о конечном значении оригинала.

Если f[n, ] - оригинал, а F(z, )- изображение, то

lim f[n, ]=lim F(z,)

n z1

9. Теорема о начальном значении оригинала. При тех же условиях f[0,]=lim F(z,).

z

Передаточные функции дискретных систем

Чтобы найти передаточные функции дискретных систем, как и в случае непрерывных систем, необходимо первоначально определить передаточную функцию разомкнутой системы. Структурная схема на рисунке.

g x

T T

Передаточная функция

W(Z)=,

Где X(z), G(z ) - изображение функций времени x(t), g(t). Рассмотрим первоначально простейший случай, когда D(z)=1. В этом случае последовательно соединены идеальный импульсный элемент, экстраполятор и непрерывная часть системы. Экстраполятор и непрерывная часть в совокупности образуют приведенную непрерывную часть, передаточная функция которой определяется выражением

W(s) =W_э(s) W₀(s)

Импульсной переходной функцией или функцией веса приведенной непрерывной части системы является оригинал изображения W(s)

k (t)=L^-1[W(s)]

Тогда можно записать

W (Z) =Z{k(t)}=Z{W(s)}.

Таким образом, чтобы найти передаточную функцию W(z) необходимо определить Z-преобразование передаточной функции приведенной непрерывной части.

Пусть в системе используется экстраполятор нулевого порядка. Тогда

W_э(s)=L{k_э(t)}= .

k_э

₁

0  T T t

k_э(t)=1(t)-1(t-T)

L[1(t)]=

L[1(t-T)]=e^-TS(), т.е. W_э(S)=,

(если импульсный элемент формирует импульсы с последовательностью , то W_иэ(S)=)

В этом случае

W(s) =(1-e^-Ts) =W₁(e^-Ts) .

Для отыскания Z-преобразования функции времени, заданной преобразованием Лапласа в такой форме можно воспользоваться выражением

Z{W(s)}=W₁(z)Z{ }

Поэтому

W(z)=Z{ }=

Z-преобразование Z { } находится путем разложения рациональной дроби на простые с дальнейшим использованием таблиц Z-преобразований.

Пример.

Пусть =

Тогда пользуясь таблицей, будем иметь

W(z)=K Z{} =K [] ,

где d=e^-()

Для большинства цифровых систем управления D(z)1. В этом случае

W (z)=D(z)Z{W(s)}),

т.к. ЭВМ или цифровое управляющее устройство, осуществляя модуляцию последовательности входных -функций, не изменяет дискретной природы сигналов.

В любой момент времени nT ЭВМ в соответствии с алгоритмом работы определяет и выдает на выход числовую величину, получаемую в общем случае по значениям входного и выходного сигналов в данный и предшествующие моменты времени.

x₁ x₂

x₂(n)= _ix₁(n-i)- _ix₂(n-i) (*)

где i- целое положительное число

Учитывая, что

Z{f[n-i]}=Z^-IF(z), где F(z)=Z{f[n]}

Можно записать, что

D(Z)= и применяя к (*) Z-преобразование

X₂(z)= _iz^-iX₁(z)- _iz^-iX₂(z) или

X₂(z)= _Iz^-i=X₁(Z)_iz^-i,

где ₀=1

Откуда D(Z)=

Умножив числитель и знаменатель на z^l , получим

D (Z)=

Пример

Пусть ЭВМ реализует функцию корректирующего устройства с алгоритмом

X₂[n]=d₁x₁[n]+d₂x₁[n]=d₁x₁[n]+d₂{x₁[n]-x[n-1]}=

=(d₁+d₂)x[n]-d₂x[n-1]=₀x[n]-₁x[n-1]

X₂[Z]= ₀X₁[z]- ₁z^-1X₁[z];

Тогда

D(Z)= ₀-₁z^-1=

Зная D(z) всегда можно определить W(z).

Рассматривая полученные выражения, следует учитывать особый вид дискретной передаточной функции, которую не следует путать с обычной передаточной функцией непрерывного звена, т.к. W(z)W(s) при замене в последней символа s на z.

Для систем с единичной обратной связью, если W(z) представляет собой передаточную функцию разомкнутой системы

Ф(z)=

и передаточную функцию по ошибке

Ф_(z)=

и по возмущению

Ф_f(z)=

Знаменатель рассмотренных передаточных функций замкнутой системы называется ее характеристическим полиномом. Обычно изображения входных сигналов и передаточные функции представляют собой дробно-рациональные функции z. Они позволяют использовать различные оценки качества систем регулирования.