- •Дискретные системы автоматического управления. Основные положения.
- •Математические методы описания дискретных систем Решетчатые функции
- •В соответствии с этим значение рассматриваются на полуинтервале
- •Функции f[nT, t] являются функциями двух переменных (аргументов) n и , поэтому целесообразно обозначать эти функции как
- •Дискретное преобразование Лапласа.
- •Свойства z-преобразования.
- •Передаточные функции дискретных систем
- •Определение процессов в импульсных системах при типовых воздействиях.
- •Далее определим вычеты в полюсах передаточной функции ф(z,). Для простых полюсов получим
- •Учитывая, что ф(z,) является дробно-рациональной по отношению к переменной z и обозначая
- •Анализ устойчивости дискретных систем.
- •Критерий Рауса-Гурвица.
- •Частотные характеристики
- •Построение лчх дискретных систем Построение низкочастотной части лчх
- •Построение высокочастотной части цифровых систем с экстраполятором нулевого порядка.
- •Синтез цифровых систем автоматического регулирования. Обеспечение заданной точности.
- •Расчет дискретных корректирующих средств.
Критерий Рауса-Гурвица.
Критерий Рауса-Гурвица в рассматриваемом случае можно применить, если выполнить конформное отображение плоскости комплексного переменногоzна плоскость комплексного переменногоwтаким образом, чтобы единичная окружность|z|=1перешла в мнимую ось на плоскости переменногоw, а внутренность единичного круга|z|<1отобразилась на левую полуплоскостьRe w<0. Такое отображение выполняется с помощью дробно-линейного преобразования.
z
=(1+w)/(1-w)
и
наоборот
w
=(z-1)/(z+1)
Выполняя замену переменной в
многочлене A(z) получим
a0 ((1+w)/(1-w))k + a1 ((1+w)/(1-w)k-1 +..+ ak = A1(w)/(1-w)k
где A1(w)-многочлен степениkновой переменнойw.
Например, при k=2
A1(w)=a0 (1-w) 2+a1(1+w)(1-w)+a2(1-w) 2 =
=a0+2a0w+a0w2+a1 - a1w2+a2-2a2w+a2w2=
=b0w2+b1w+b2 ,
где
b0= a0 -a1 +a2
b1= 2a0 -2a2
b2= a0 -a1 +a2
Исследование расположения корней многочлена A1(W)можно проводить с помощью критерия Гурвица, имеющего совокупность определителей
1 =b1 , 2 =,
.
Рассмотренный алгебраический метод позволяет определить является ли система асимптотически устойчивой, однако не дает возможности исследовать устойчивость в тех случаях, когда корниA(z)лежат на самой единичной окружности|z|=1. Недостатком метода является значительная трудоемкость вычислений. Метод весьма громоздок при синтезе САР. Более удобными являются частотные методы, которые рассмотрим ниже.
Частотные характеристики
При исследовании дискретных систем широко используются частотные методы. Для получения частотной передаточной функции необходимо в выражение для передаточной функции сделать подстановку z=ejT
W(ejT)= .
Частотные характеристики в этом случае (АФХ, АЧХ, ФХ) оказываются периодическими функциями частоты с периодом.
Более удобным для получения частотных характеристик и, в частности, логарифмических является использование псевдочастоты. Обычно для этого применяют w – преобразование, при помощи которого окружность единичного радиусаe jTотображается на мнимую ось комплексной величиныwс помощью подстановки
или
Сделав подстановку , получим
где - относительная псевдочастота.
В дальнейшем изложении будем использовать, так называемую абсолютную псевдочастоту
.
При малых частотах (<) абсолютная псевдочастота практически совпадает с обычной частотой, т. к. в этом случае.
Это является весьма удобным, т. к. в этом случае частотные характеристики в функции псевдочастоты практически сливаются с частотными характеристиками, построенными в функции обычной круговой частоты . Построение же характеристик в функции псевдочастоты оказывается значительно более простым.
Нетрудно заметить, что при изменении частоты в пределах ,, а комплексная величинаwдвижется по мнимой оси отдо.
.
Аналогично для разомкнутой системы
.
Для получения частотной характеристики необходимо сделать подстановку
.
Однако, как и ранее следует учитывать особый вид функции ,которая не равнаW(s)приs=jи не равнаW(z)приz=j.
Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
.
Частотная характеристика может быть получена подстановкой . Тогда
.
Построение ЛАХ и ЛФХ по этому выражению даже в этом простейшем случае вызывает затруднения. Перейдем к псевдочастоте. Тогда
.
Построение асимптотической ЛАХ и ЛФХ в этом случае не вызывает никаких затруднений.