2. Доходность и риск активов и портфелей

Цель инвестора - получение дохода на вложенный капитал

Т - инвестиционный горизонт

- текущий доход, полученный от актива a в течение периода T (дивиденды, проценты, плата за аренду и др.)

- капитальный доход, представляющий собой прирост стоимости инвестиционных активов за этот же период: - начальная стоимость (цена) актива,- конечная стоимость (цена) актива.

Полный доход от одного актива составляет

(1)

Эффективность инвестирования: например, доход в 1000 руб. выглядит значительным, если начальный капитал составлял 100 руб., и малым, если инвестируемые средства были порядка 1000000 руб.

Для количественной оценки эффективности капиталовложений используют доходность актива за период Т, равную отношению полного дохода к начальной стоимости актива

(2)

Доходность портфеля π за период T

где - начальная стоимость портфеля,- конечная стоимость, включающая в себя и текущий доход.

На практике иногда используют нормированную доходность, т.е. доходность, приведенную к выбранному базисному (инвестиционному) периоду

.

Если все величины, входящие в формулы (2), (3) известны, то доходность называется достигнутой, или реализованной.

Доходность, вычисленная на основе ожидаемых значений текущего дохода и будущей стоимости актива, называется ожидаемой доходностью.

Риск -

Впервые формализация понятий доходности и риска была приведена в работах Марковица Г

R - доходность актива или портфеля, r реализованная доходность актива или портфеля

3. Модель инвестиционного рынка

Постановка задачи. Рассмотрим рынок ценных бумаг, на котором обращается некоторая совокупность активов .

Каждый актив характеризуется доходностью, представляющей собой дискретную случайную величину, которая принимает конечное число значений. Ее реализованное значение– это значение доходности в конце инвестиционного периода. Для описания дискретной случайной величиныиспользуются распределения вероятностей

В модели Г. Марковица используются количественные характеристики случайной величины – математическое ожидание, дисперсия и ковариация.

Математическое ожидание

где M[.] – оператор математического ожидания, представляет собой ожидаемую доходность.

Мерой риска служит дисперсия (вариация) , которая характеризует степень отклонения доходности как случайной величины от среднего значения. Она вычисляется по формуле

.

Инвестор при принятии решений основывается на двух характеристиках: ожидаемой доходности и риске. Такой подход получил в англоязычной финансовой литературе название «mean-variance-approach» (среднее-вариация).

Для диверсификации (перераспределения) риска с целью его снижения составляется портфель. Возможность диверсификации в значительной степени зависит от ковариации между доходностями активов

,

^,

где - совместное распределение

вероятностей величин R⁽ⁱ⁾=R^(j),

Ковариация является симметричной функцией, т.е.

.

• , ,

Модель рынка по Марковицу - <A, m, C>,

.

Практическая оценка элементов модели

- временной ряд доходности актива а_i

Cреднее арифметическое этой последовательности - оценка мат. ожидания, оценка ожидаемой доходности

.

Оценка дисперсии (риска)

,

- оценка ковариации доходностей иактивов

и коэффициент корреляции

.

Пример 1. Для иллюстрации составления модели рассмотрим сегмент рынка с акциями четырех компаний (Табл.1) . В таблице цены даны на начало месяца.

Таблица 1

		Газпром	Даль-	Лукойл	Норникель
			связь
2006 г.	Май	11,870	2,600	94,400	133,000
	Июнь	10,690	2,770	78,700	117,500
	Июль	10,410	2,620	86,150	131,000
	Август	11,640	3,100	85,800	133,000
	Сентябрь	11,560	2,950	84,400	134,000
	Октябрь	10,820	3,050	75,300	126,250
	Ноябрь	10,890	3,100	84,300	146,000
	Декабрь	11,630	3,460	90,100	153,000
2007 г.	Январь	10,510	3,910	76,200	145,000
	Февраль	10,880	4,100	80,250	178,500
	Март	10,120	3,750	77,000	170,500
	Апрель	10,330	4,450	84,100	194,500
	Май	9,550	4,950	77,300	199,500
	Июнь	9,540	4,850	77,000	198,100
	Июль	10,570	5,200	78,800	212,500
	Август	10,600	4,900	77,400	217,800

По данным таблицы 1 в соответствии с формулами (1), (2)

рассчитываются временные ряды доходностей по акциям за инвестиционный период Т=1 месяц.

Табл. 2 Доходности акций компаний

		№	Газпром	Даль-	Лукойл	Норникель
		периода		газ
2006 г.	май-июнь	1	-0,099	0,065	-0,166	-0,117
	июнь-июль	2	-0,026	-0,054	0,095	0,115
	июль-авг	3	0,118	0,183	-0,004	0,015
	авг-сен	4	-0,007	-0,048	-0,016	0,008
	сен-окт	5	-0,064	0,034	-0,108	-0,058
	окт-нояб	6	0,006	0,016	0,120	0,156
	нояб-дек	7	0,068	0,116	0,069	0,048
	дек-янв	8	-0,096	0,130	-0,154	-0,052
	янв-февр	9	0,035	0,049	0,053	0,231
	февр-март	10	-0,070	-0,085	-0,040	-0,045
2007 г.	март-апр	11	0,021	0,187	0,092	0,141
	апр-май	12	-0,076	0,112	-0,081	0,026
	май-июнь	13	-0,001	-0,020	-0,004	-0,007
	июнь-июль	14	0,108	0,072	0,023	0,073
	июль-авг	15	0,003	-0,058	-0,018	0,025

По данным табл. 2 находятся статистические оценки математических ожиданий , дисперсийи ковариацийпо формулам (8), (9), (10). Они представляют собой ожидаемые доходности, риски, а также связи между доходностями акций компаний.

Компания	Газпром	Даль-	Лукойл	Норникель
		связь
Ожидаемая доходность	0,009215688	0,042440206	-0,001604605	0,042787039

Ожидаемые доходности объединены в вектор, а ковариации в матрицу

,

Компания	Газпром	Даль-	Лукойл	Норникель
		связь
Газпром	0,005342098	0,001581595	0,003916243	0,003226
Дальсвязь	0,001581595	0,007125526	0,000548247	0,0017481
Лукойл	0,003916243	0,000548247	0,008008185	0,0077585
Норникель	0,003226015	0,001748099	0,007758537	0,0097212