Решение
Проведем процесс
ортогонализации Грама-Шмидта системы
векторов
базиса
.
1) На
первом шаге необходимо вычислить векторы
.
Вычисляем
вектор
,
затем скалярное
произведение и норму вектора
,
,
и окончательно вектор
,
.
2) На втором шаге
необходимо вычислить векторы
.
Сначала вычисляем скалярное произведение
,
затем вектор
.
Теперь нормируем
вектор
:
,
получаем вектор
,
.
3) На третьем шаге
необходимо вычислить векторы
.
Сначала вычисляем скалярные произведения
,
,
затем вектор
.
Теперь нормируем
вектор
:
,
получаем последний искомый вектор
,
.
Итак, ортонормированный
базис
состоит из векторов:
,
,
.
Пример
7.
Проверить
ортогональность векторов
,
пространства
и дополнить эти векторы до ортогонального
базиса:
.
Решение. Решение
задачи
предусматривает
нахождение двух векторов
,
таких, что система векторов
,
,
,
образует ортогональную систему векторов
в пространстве
,
то есть при всех
(
)
(любые два разных вектора из системы
ортогональны).
Проверим
ортогональность векторов
,
.
Для этого вычисляем скалярное произведение
этих векторов:
.
Так как
,
то векторы
,
ортогональны.
Найдем вектор
такой, что он ортогонален векторам
,
,
то есть
.
В результате приходим к системе уравнений
Эту однородную систему решим методом Гаусса. Приводим матрицу системы к ступенчатому виду (меняем местами строки матрицы)
.
Ранг матрицы
.
Принимая переменные
за базисные, а
за свободные (обозначаем при этом
),
получим общее решение рассматриваемой
ОСЛАУ
Итак, общее решение однородной системы имеет вид
Из множества
решений выделим частное решение. Положим
(для дальнейшего удобства)
.
Тогда получим
.
Итак, вектор
имеет вид
.
Выполним проверку:
Найдем вектор
такой, что он ортогонален векторам
,
,
,
то есть
.
В результате приходим к системе уравнений
Эту однородную систему решим методом Гаусса. Приводим матрицу системы к ступенчатому виду
Ранг ступенчатой
матрицы
.
Принимая переменные
за базисные, а
- за свободную (обозначаем при этом
),
получим общее решение рассматриваемой
ОСЛАУ
Из множества
решений выделим частное решение. Положим
(для дальнейшего удобства)
.
Тогда получим
.
Итак, вектор
имеет вид
.
Выполним проверку:
Ответ: ортогональный базис имеет вид
,
,
.