Praktikum_3

1

Дистанционный курс «Линейная алгебра для очников» (2 семестр)

Практикум №3. Квадратичные формы

В данном практикуме рассматриваются следующие задачи:

1) приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа выделения полных квадратов;

2 приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования;

3) исследование квадратичной формы на знакоопределенность при помощи критерия Сильвестра.

Примеры задач, рассматриваемых в данном практикуме, соответствуют заданиям 9, 10 типового расчета.

Запись вида (1) называется координатной формой записи квадратичной формы (с приведенными подобными членами).

Если в линейном пространстве Rn выбран некоторый базис, то переменные x1, x2, ..., xn можно интерпретировать как координаты вектора в этом базисе:

Определение 2. Рангом квадратичной формы (2) называется ранг её мат-

рицы A. При этом пишут

rang L rang A .

Определение 3. Квадратичная форма (2) называется невырожденной, если соответствующая ей матрица A является невырожденной. При этом rang L rang A n. В противном случае (если rang L rang A n) квад-

ратичная форма (2) называется вырожденной.

Практикум №3. Квадратичные формы

2

Рассмотрим, как меняются коэффициенты квадратичной формы (2) при линейной замене переменных. Пусть переменные x1, x2, ..., xn заменяются на переменные y1, y2, ..., yn по формулам

Определение 4. Преобразование (4) называется линейным преобразовани-

ем. Матрица T называется матрицей линейного преобразования. При этом, ес-

ли матрица T является неособенной, то преобразование (4) называется неосо-

бенным линейным преобразованием.

Применим преобразование (4) к форме (2):

Если рассматривать x, y как координатные вектор-столбцы вектора в базисах B, B соответственно, то матрица T является матрицей перехода от базиса B к базису B (при этом преобразование (4) будет неособенным линейным преобразованием).

Наибольший интерес для дальнейшего изучения квадратичных форм представляют такие неособенные преобразования (4), которые приводят квадратичную форму (2) к квадратичной форме (5) с диагональной матрицей A :

Определение 5. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных и не содержит парных

Практикум №3. Квадратичные формы

3

произведений разноименных переменных:

При этом базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (6), называется диагонализирующим базисом. Задача нахождения диагонализи-

рующего базиса называется задачей диагонализации квадратичной формы.

Если (2) есть невырожденная квадратичная форма (rang L n), то в ре-

зультате неособенного линейного преобразования (4) матрица A будет являться неособенной матрицей (при неособенных линейных преобразованиях ранг матрицы не изменяется). То есть при всех i 1,2,...,n: i 0. Если же квадра-

тичная форма (2) является вырожденной и имеет ранг rang L r n, то диа-

гонализирующий базис (если он существует) можно выбрать так, что матрица A в этом базисе имеет следующий диагональный вид:

Для любой квадратичной формы всегда можно найти диагонализирующий базис, в котором эта форма имеет канонический вид (6).

Пример 1. Задана квадратичная форма от трех переменных x1, x2, x3 в

стандартном базисе пространства R3:

Найти вид этой квадратичной формы в базисе, если задана матрица перехода

В новом базисе переменных y1, y2, y3 квадратичная форма имеет канонический вид

3

L y i yi2 2y12 3y22 .

i 1

Практикум №3. Квадратичные формы

4

2.Приведение квадратичных форм

кканоническому виду методом Лагранжа

Рассмотрим наиболее простой и чаще используемый на практике способ приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа. Он основан на выделении полного квадрата в квадратичной форме.

Теорема 1 (теорема Лагранжа). Любую квадратичную форму (1):

при помощи неособенного линейного преобразования (4) можно привести к каноническому виду (6):

Пример 2. Привести квадратичную форму

L x1, x2 x12 4x1 x2 x22

к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.

Решение. Выберем ведущей переменную x1 (коэффициент a11 1). Груп-

пируя слагаемые, содержащие x1, и выделяя по ней полный квадрат, получим

L x1, x2 x12 4x1 x2 x22 x12 2x1 2x2 4x22 4x22 x22

x1 2x2 2 4x22 x22 x1 2x2 2 3x22.

Сделаем замену переменных (введем новые переменные y1, y2 )

Составим матрицу из коэффициентов при переменных u1, u2 :

неособенного линейного преобразования x S1 y, в результате которого исходная квадратичная форма примет канонический вид

L x1, x2 x1 2x2 2 3x22 y12 3y22.

Так как выделение полного квадрата проводилось однократно, то матрица T неособенного линейного преобразования (4) совпадает с матрицей S1. Итак, искомая матрица T неособенного линейного преобразования (4) имеет вид

Практикум №3. Квадратичные формы

Выполним проверку проведённых вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид

к каноническому виду методом Лагранжа. Указать соответствующее неособенное линейное преобразование. Выполнить проверку.

Решение. Выберем ведущей переменную x1 (коэффициент a11 1). Груп-

пируя слагаемые, содержащие x1, и выделяя по ней полный квадрат, получим

L x1, x2, x3 x12 2x1 x2 4x1 x3 5x22 4x32 x12 2x1 x2 2x3 5x22 4x32

x12 2x1 x2 2x3 x2 2x3 2 x2 2x3 2 5x22 4x32 x1 x2 2x3 2

2

4x22 4x2x3 8x32 x1 x2 2x3 L1 x2, x3 ,

где обозначено L1 x2, x3 4x22 4x2x3 8x32.

Сделаем замену переменных (введем новые переменные u1, u2, u3 )

u1 x1 x2 2x3 ,u2 x2,

u3 x3.

Выразив старые переменные x1, x2, x3 через новые u1, u2, u3 :

x1 u1 u2 2u3 ,x2 u2,

x3 u3,

получим матрицу из коэффициентов при переменных u1, u2, u3 :

Практикум №3. Квадратичные формы

6

неособенного линейного преобразования x S1u, в результате которого исходная квадратичная форма примет вид

L x1, x2, x3 u12 L1 u2, u3 u12 4u22 4u2u3 8u32.

К квадратичной форме L1 u2, u3 4u22 4u2u3 8u32 применим метод выде-

ления полного квадрата при ведущей переменной u2 :

L x1, x2, x3 u12 4u22 4u2u3 8u32 u12 4 u22 u2u3 8u32 u12

4 u22 2u2 12 u3 12 u3 2 12 u3 2 8u32 u12 4 u2 12 u3 2 9u32.

Сделаем снова замену переменной (введем новые переменные y1, y2, y3 )

y1 u1 ,

y2 u2 12 u3,

y3 u3.

Выразив переменные u1, u2, u3 через новые y1, y2, y3 :

u1 y1 ,

u2 y2 12 y3,

u3 y3,

получим матрицу из коэффициентов при переменных y1, y2, y3

неособенного линейного преобразования u S2 y, в результате которого квадратичная форма примет искомый канонический вид

Убедимся в справедливости равенства (5):

Практикум №3. Квадратичные формы

3.Ортогональные преобразования. Приведение квадратичной формы

кканоническому виду методом ортогональных преобразований

Для любой симметрической матрицы A aij in,j 1 (AT A) существует орто-

гональная матрица U uij in, j 1 (UT U E ) такая, что выполняется равенство

где 1, 2,..., n R – собственные значения матрицы A, повторяющиеся с учетом их алгебраических кратностей.

При этом собственные векторы матрицы A, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.

Определение 6. Линейное преобразование вида

с ортогональной матрицей U (UT U E ) называется ортогональным преобра-

зованием.

Если взять в качестве матрицы A матрицу квадратичной формы (1), то при помощи ортогонального преобразования (8) ее можно привести к диагональному виду (7). А это означает, что любую квадратичную форму (1) с помощью ортогонального преобразования (8) можно привести к каноническому виду

i 1

Чтобы найти матрицу U , осуществляющую ортогональное преобразование (8), необходимо:

1)найти собственные числа 1, 2,..., k R (k n) матрицы A, указав соответствующие алгебраические кратности;

2)для каждого собственного числа i (i 1,k ,k n) найти соответствую-

щий набор линейно независимых собственных векторов (их количество должно равняться алгебраической кратности собственного числа). В результате получим линейно независимую систему собственных векторов;

3) преобразовать полученную в пункте 2 систему собственных векторов в ортонормированную систему векторов. При этом, если 1, 2,..., n есть различные собственные числа матрицы A, то соответствующая система собственных векторов является ортогональной, и достаточно пронормировать собственные векторы. Если же среди собственных чисел 1, 2,..., n есть равные, то необходимо провести процесс ортогонализации Грамма-Шмидта (так как основным пространством является евклидово пространство Rn , то скалярное произведение задается в нем стандартным образом).

Практикум №3. Квадратичные формы

8

В результате получить ортогональную матрицу U , столбцами которой являются векторы ортонормированной системы.

4) Записать ортогональное преобразование (8) и соответствующую каноническую форму (9). Рекомендуется выполнить проверку равенства (5).

Пример 4. Привести квадратичную форму

L x1, x2 5x12 8x1x2 5x22

к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Решение.

1) Найдем собственные значения матрицы A квадратичной формы. Матрица формы в нашем случае имеет вид

Для нахождения собственных чисел составляем характеристический многочлен

ность каждого собственного числа равна 1 (все числа попарно различны).

2) Для каждого собственного числа i (i 1,2) найдем соответствующий двумерный собственный вектор

Соответствующая система линейных алгебраических уравнений для нахо-

В результате получаем первый собственный вектор

Практикум №3. Квадратичные формы

Аналогично собственный вектор, соответствующий собственному значению 2 9, имеет вид

2 1

v.1

Получаем линейно независимую систему собственных векторов

3) Преобразуем полученную в пункте 2 систему собственных векторов в ортонормированнуюсистему.Cистемасобственныхвекторовявляетсяортогональной:

Пронормировав собственные векторы, получим систему ортонормированных векторов:

В результате получаем ортогональную матрицу, столбцами которой являются вектор-столбцы построенной ортонормированной системы:

4) Соответствующая каноническая форма (9) имеет вид

2

K y1, y2, y3 i yi2 1 y12 9y22 y12 9y22 . i 1

Выполним проверку проведенных вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид