Praktikum_3

Полученную однородную систему решим методом Гаусса. Составляем основную матрицу системы

Последние две строки пропорциональны (коэффициент пропорциональности равен 2), что дает возможность обнулить последнюю строку. Получим следующую ступенчатую матрицу (вторую строку сократили на -27)

Переходя от матрицы к системе, получим

Выделяя из этого общего решения частное решение, получим при v31 1 собственный вектор

Действуя аналогично, можно найти для 2 9, 3 18 соответствующие собственные векторы

В результате получим линейно независимую систему соответствующих собственных векторов

Практикум №3. Квадратичные формы

12

3) Преобразуем полученную в пункте 2 систему собственных векторов в ортонормированную систему векторов. Заметим, что система собственных векторов является ортогональной:

T T T

v1 , v 2 v1 v 2 0, v1 , v 3 v1 v 3 0, v 2 , v 3 v 2 v 3 0.

Пронормировав собственные векторы, получим систему ортонормированных векторов:

В результате получаем ортогональную матрицу

столбцамикоторойявляются векторыпостроеннойортонормированнойсистемы. 4) Соответствующая каноническая форма (6.9) имеет вид

3

K y1, y2, y3 i yi2 9y12 9y22 18y32 . i 1

Выполним проверку проведенных вычислений. Матрицы исходной квадратичной формы и канонической формы имеют вид

Практикум №3. Квадратичные формы

13

4. Закон инерции квадратичной формы. Критерий Сильвестра

Согласно теореме Лагранжа любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. То есть существует диагонализирующий (канонический) базис, в котором матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

где r rangA rangL. Тогда в этом базисе квадратичная форма имеет вид

тельных и q отрицательных, причем p q r. Меняя, в случае необходимости нумерацию базисных векторов, можно всегда добиться того, чтобы в диагональной матрице квадратичной формы первые p элементов были положительными, остальные q – отрицательными (если r n, то последние n r элементов в матрице – нули).

Квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду различными способами (методом Лагранжа, методом ортогональных преобразований или методом Якоби). Но, несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики её коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными. Речь идет о так называемых числовых инвариантах квадратичной формы. Одним из числовым инвариантом квадратичной формы является ранг квадратичной формы.

Теорема 2 (об инвариантности ранга квадратичной формы). Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных преобразованиях и равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных чисел матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).

Определение 7. Ранг r квадратичной формы называется индексом инерции. Число p положительных и число q ( p q r) отрицательных чисел в каноническом виде квадратичной формы называются положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы соответственно. При этом список p, q называется сигнатурой квадратичной формы.

Положительный p и отрицательный q индексы инерции являются числовыми инвариантами квадратичной формы. Справедлива теорема, называемая

законом инерции.

Теорема 3 (закон инерции). Канонический вид (12) квадратичной формы определён однозначно, то есть сигнатура p, q не зависит от выбора диагона-

лизирующего базиса (не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду).

В качестве иллюстрации закона инерции можно показать, что квадратичная форма от трех переменных:

Практикум №3. Квадратичные формы

14

L x L x1, x2, x3 2x12 5x22 11x32 20x1x2 4x1x3 16x2x3

двумя неособенными линейными преобразованиями x T1 y, x T2 z с соответствующими матрицами

(первая матрица соответствует методу Лагранжа, вторая – методу ортогональных преобразований) приводится соответственно к двум различным каноническим формам

K1 y1, y2, y3 2y12 45y22 815 y32 , K2 z1, z2, z3 9z12 18z22 9z32 .

При этом обе канонические формы имеют одну и ту же сигнатуру

p, q 2, 1 .

Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы

Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.

Определение 8. Квадратичная форма L x называется:

положительноопределенной,еслидля всякогоненулевоговектора x: L x 0;

отрицательноопределенной,еслидля всякогоненулевоговектора x: L x 0;

неположительно определенной (отрицательно полуопределенной), если для вся-

когоненулевоговектора x: L x 0;

неотрицательно определенной (положительно полуопределенной), если для вся-

когоненулевоговектора x: L x 0;

знакопеременной,еслисуществуютненулевыевекторы x, x: L x 0, L x 0.

Определение 9. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными.

Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому виду. Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 4. Пусть квадратичная форма L x приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру p, q ( p q r, r rang L ). Тогда:

L x является положительно определенной p n;

L x является отрицательно определенной q n;

L x является неположительно определенной p 0, q n;

Практикум №3. Квадратичные формы

жительные, так и отрицательные.

Критерий Сильвестра

Тип квадратичной формы можно определить, не приводя ее к каноническому виду. Следующий ниже критерий Сильвестра позволяет определить тип квадратичной формы по знакам угловых миноров ее матрицы.

Рассмотрим угловые миноры k det A k (k 1, n), являющиеся определителями подматриц A k aij ik, j 1 матрицы A aij in,j 1 квадратичной формы:

Практикум №3. Квадратичные формы

Теорема 6 (критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной фор-

мы). Квадратичная форма L x xT Ax является:

1)положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры k матрицы A положительны:

k 0 (k 1, n)

2)отрицательно определенной тогда и только тогда, когда все угловые ми-

норы k матрицы A отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус:

1 0, 2 0, ..., 1 n n 0.

В заключение приведем таблицу оценки знакоопределенности квадратичных форм по двум основным критериям.

Практикум №3. Квадратичные формы

17

Пример 6. Исследовать на знакоопределенность следующие квадратичные формы от двух переменных

Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, квадратичная форма L1 x1, x2 является положительно определенной.

2) Матрица формы L2 x1, x2 2x12 2x1x2 3x22 имеет вид

Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус, то квадратичная форма L2 x1, x2 является отрицательно определенной.

3) Матрица формы L3 x1, x2 4x1x2 x22 имеет вид

4) Матрица формы L4 x1, x2 x12 2x1x2 x22 имеет вид

Практикум №3. Квадратичные формы

18

Так первый угловой минор положителен, а второй угловой минор равен нулю, то согласно таблице квадратичная форма L4 x1, x2 является неотрица-

тельно определенной.

Заметим, что в данном случае

L4 x1, x2 x12 2x1x2 x22 x1 x2 2 0.

Пример 7. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму от трех переменных

L x1, x2, x3 7x12 8x22 x32 6x1x2 4x1x3 .

Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, то квадратичная форма является положительно определенной.

Практикум №3. Квадратичные формы