praktikum_1_1Integraly
.pdf
Дистанционный курс
«Математика для заочников»
2 семестр
Практикум №1 «Неопределенные интегралы»
Пример 1. Найти интеграл ∫(3 − 2 +5)
Решение.
Так как подынтегральная функция представляет алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то, согласно свойству 4
|
∫[ ( )+ ( )+ ( )] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= ∫ |
|
|
|
|
+∫ |
|
|
|
|
|
+∫ |
отдельно( ) |
|
|
|
|
||||||||||||||
можно интегрировать( ) |
каждое(слагаемое) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(3 −2 +5) = 3 |
|
|
− 2 + 5 = |
|
||||||||||||||||||||||||||
= 3 |
|
|
|
− 2 |
|
|
+5 |
|
|
|
= 3∙ |
|
|
|
− 2∙ |
|
|
|
+5 + |
|
|||||||||||
|
|
|
|
∫ |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
, ≠ −1 |
|
|||||||
по формуле 1 таблицы интегралов |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3∙ |
|
|
−2∙ |
|
+5 |
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 2. Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разложим подынтегральную функцию на слагаемые, деля |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
числитель почленно на знаменатель: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
− |
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Затем интегрируем каждое слагаемое отдельно по формулам 1и 2
таблицы интегралов: ∫ |
= |
|
+ , ≠ −1 и |
|
= | | + .
Практикум №1 «Интегралы»
2
|
|
|
|
|
2 + −1 |
= |
2 |
+ |
1 |
− |
1 |
= |
|
||||||||
= 2∫ |
|
+∫ |
|
|
|
−∫ |
= 2 |
| | |
− |
|
+ |
|
+ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответ: |
2 |
| |
|− |
|
+ |
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
√
Пример 3. Найти интеграл ∫
Решение.
Преобразуем подынтегральную функцию. Разделим почленно числитель на знаменатель
√ = + − √ + = 3 +5 −6 ++ .
Найдем интеграл, используя свойства 3 и 4
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
+5 − 6 √ +4 |
= |
||||
= 3 |
+5 |
−6 |
|
|
+4 |
||
|
|||||||
Используя формулы 1 и 2 таблицы интегралов, получим:
|
|
|
= |
3 |
+ |
|
5 |
|
|
− |
24 |
|
+4 | |+ . |
|||||||||
Ответ: |
4 |
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
+4 |
|
| |+ . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 4. Найти интеграл |
∫ |
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
||||||||
Преобразуем подынтегральное выражение. Выполним почленное деление числителя на знаменатель, применяя при сокращении формулу ( − ) = ( − )( + ) .
Практикум №1 «Интегралы»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
На основании свойств 3 и 4 имеем: |
|
||||||||||||||||||
= |
√4+ |
|
|
|
|
−3 |
√4− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||
√16 − |
|
|
|
|
√16 − |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
√4+ |
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
√4 − |
= |
||||||||
√4+ |
|
|
∙√4 − |
|
|
√4+ |
∙√4 − |
||||||||||||
|
√4− |
|
|
|
|
|
|
√4+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
Применяя= |
формулы−3 |
14 и 16 таблицы интегралов, получим |
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
+4 |
+ . |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
+ |
|
+√ |
|
+4 |
+ . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 5. |
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
|
||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Умножим знаменатель и числитель подынтегрального выражения на 8 и произведем следующее преобразование:
8 = 4+ +4 − |
. |
|
Используя свойства 3 и 4 и формулы 12 и 15 таблицы интегралов,
получим: |
8 |
|
|
1 |
|
(4+ )+ (4− ) |
|
|
|||||||||
= |
1 |
|
|
|
= |
|
= |
||||||||||
8 |
16 − |
|
8 |
|
|
(4− )∙(4+ ) |
|||||||||||
= |
|
|
|
∫ |
( |
( |
)∙() |
|
) |
+ ∫ |
( |
( |
)∙() |
) |
= |
||
|
|
|
|
||||||||||||||
Практикум № 1 «Интегралы»
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
− 2 |
|
1 |
4 |
|
= |
|
|
(4− |
) |
+ |
|
= |
− |
+ |
|
+ = |
|||||||
8 |
|
|
(4+ ) |
8 |
4 |
+2 |
2 |
2 |
||||||||||
= |
1 |
2 |
|
|
|
− |
−2 |
+ . |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
32 |
|
|
|
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
+ . |
|
|
|
|
|
Найти интеграл |
∫(1+ |
) |
|
|
||||||
Решение. |
|
|
||||||||||
Пример 6. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Возведем в квадрат выражение |
|
|
|
. Затем |
||||||||
интегрируем каждое слагаемое |
отдельно, используя формулу |
|||||||||||
|
|
(1+ |
) |
= 1+2 + |
|
|||||||
∫= + .
Интегрируя третье слагаемое, учитываем формулу:
( + ) = |
1 |
( + ) ( + ) = |
1 |
( + )+ . |
|||||||||
|
(1+ |
) |
= |
(1+2 + ) = |
|
||||||||
= |
+2 |
|
+ |
1 |
|
(2 ) = +2 + |
1 |
+ . |
|||||
Ответ: |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 7.+2 + |
|
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫ |
|
||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
||||||||
Добавим в числителе дроби 1 и -1 , затем выделим из подынтегральной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:
= |
|
= 1 − |
|
. |
|
|
Интегрируем каждое слагаемое отдельно по свойству 4, используя
Практикум № 1 «Интегралы»
5
формулу ∫ |
|
|
= |
|
|
|
|
+ . |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|||
= 1− |
+1 |
|
|
= |
|
− |
+1 |
= − |
+ . |
|||
Ответ: |
− |
+ . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование посредством замены переменной, внесением под знак дифференциала.
Пример 8. Найти интеграл ∫ 3
Решение.
Умножаем и делим интеграл на 3 и вносим множитель 3 под знак интеграла (согласно свойству5), затем под знак дифференциала:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
по формуле 6, |
при |
= 3 |
|
3 (3 ) =3 |
3 + , |
||||||
3 |
|
||||||||||
Ответ: |
|
|
|
= 3 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 9. Найти3 + |
интеграл. |
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
||||||
Разложим подынтегральную дробь на две дроби
=+ ,
Учитываем 2 = ( − 5).
Практикум № 1 «Интегралы»
6
Интегрируем по формулам ∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
| |
| + |
|
и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
2 |
|
+3 |
|
|
( =−5) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
−5 |
+3 |
|
|
|
|
|
|
−5 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
+3 |
−5 |
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= | |
|
|
|
|
|
−5| + |
|
3 |
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
− √5 |
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√5 |
|
|
|
. |
|
+ √5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
| |
|
− 5| + |
|
√ ∙ |
|
|
√√ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 10. |
|
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= . |
|
дифференцируя данное выражение, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменную |
|
|
и дифференциал в |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
=Подставим; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подынтегральное выражение и найдем полученный новый |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграл, используя формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ . |
Затем |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
возвращаемся к заданной |
переменной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+3 |
|
|
= |
2 |
|
|
|
= |
, |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
+3 |
= |
|
√3 |
∙ |
|
|
|
|
√3 |
+ = | = | = |
√3 |
∙ |
|
√3 |
+ . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
√ |
|
∙ |
|
|
|
√ |
|
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Практикум № 1 «Интегралы»
7
Пример 11. |
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Подставим |
|||||||||||||
замену в |
подынтегральное выражение и находим полученный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
новый интеграл. Возвращаемся к исходной переменной . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1+2 |
|
|
|
|
= , |
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√1+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= − |
2 |
|
√ |
|
|
= − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
2 |
|
∙2 |
|
|
|
|
+ = + √ = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= | |
= |
:1 +2 |
|
| = |
|
|
|
|
−√1+ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример12.− |
√1+ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Находим полученный |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
интеграл, используя формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
новый |
|
|
|
+ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Возвращаемся к исходной переменной∫ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
+ , ≠ −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
√ |
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
= |
2 |
∙ |
2 |
|
|
|
|
+ = |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
= | |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
| = |
|
4 |
|
|
( |
|
|
+ |
|
) |
|
|
+ . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
+ |
) |
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Практикум № 1 «Интегралы»
8
Пример 13. |
Найти интеграл |
∫ |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
. Находим полученный новый |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
используя формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
интеграл,+ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
+ , |
≠ −1 |
|||||||||||
Возвращаемся к исходной |
переменной |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√1+ |
|
|
= |
1+ |
|
= |
= , = |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
⁄ |
+ |
|
= |
|
||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: |
|
= | |
= 1+ |
|
|
| = |
|
3 |
(1+ |
|
|
) + . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(1+ |
) |
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 14. |
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∫√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пусть + |
|
|
. Тогда |
|
|
= 2 |
|
|
|
, определяем |
|
|||||||||||||||||||
== .
Подставим переменную и дифференциал в подынтегральное выражение. Находим интеграл по формуле ∫ = +
и возвращаемся к переменной у.
|
|
|
+1 = , |
|
||
√ |
+1 |
= |
= |
2 |
−1 |
= |
Практикум № 1 «Интегралы»
9
= |
2 |
= 2 |
|
= 2∙ |
1 |
∙ |
− 1 |
+ = |
( −1) |
−1 |
2 |
+1 |
= |
2 = |
+1, |
|
= |
|
|
√ |
+1 |
−1 |
+ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= √ |
+1 |
|
|
|
|
|
|
√ |
+1+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Интегрирование по частям |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 15. |
Найти интеграл |
∫ |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
, |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= , |
|
|
= ∫ |
|
||||||||||||
|
. |
|
= |
|
|
|
|
, найдем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Подставляя в формулу интегрирования по частям |
|
||||||||||||||||||||||||
∙ |
−∫ |
|
|
и учитывая ∫ |
|
|
= − |
+ |
|
, |
получим |
||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
= |
∫ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
∙ |
− |
= = |
= |
|
, |
|
,== |
|
|
|||||||||||
Ответ: |
|
|
∙ |
|
|
|
= |
|
∙ |
+ |
|
|
|
+ . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 16.∙ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ . |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть = |
|
|
, |
|
=. |
|
|
,тогда |
|
= |
|
|
, |
= ∫ |
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя в формулу интегрирования по частям |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
= |
∙ |
− ∫ |
, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
==
=
Практикум № 1 «Интегралы»
10
= , =
=1 =
=, = −2
= − −∫− ∙ = − − + = − |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
− |
. |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 17. |
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
= ∫ |
= . |
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
= |
|
|
|||||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
∫ |
= |
|
∙ |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
По формуле |
|
−∫ |
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
= |
1+ |
|
|
, |
|
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
∙ |
|
|
= |
|
|
|
|
= , |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
∙ |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2(1+ ) |
|
2 |
2 |
|
(1+ ) |
|
||||||||||||||||||||||
Последний интеграл вычислим отдельно. Преобразуем подынтегральное выражение. Добавим в числителе дроби 1 и -1 , затем выделим из подынтегральной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:
|
|
|
= |
|
|
|
= 1 − |
|
. |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
− 1 |
|
|
|||||
|
(1+ |
) |
= |
|
1+ |
|
= |
1 − |
1+ |
= |
|||||
= |
|
|
− |
+1 |
= |
|
− |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практикум № 1 «Интегралы» |
|
||||