Транспортная задача

Математическая модель транспортной задачи. Важным частным случаем задачи линейного программирова­ния является транспортная задача.

- предложения поставщиков,

- спросы потребителей,

где т - число поставщиков, - число потребителей.

Матрица затрат

- коэффициент затрат - затраты на перевозку единицы груза от i – поставщика к j – потребителю

Тогда система ограничений примет вид

, (1)

(2)

Математическая формулировка транспортной задачи в общей постановке будет следующей: на множестве неотрицательных (допустимых) решений системы ограничений (1), (2) найти такое решение , при котором значение целевой функции минимально

Произвольное допустимое решение - распределение поставок

поставка клетки

Транспортная задача, приведенная в примере, обладает важной особенностью: предложения поставщиков равны спросу потребителей, т.е.

. (7)

Такие транспортные задачи называются закрытыми. В противном случае транспортная задача называется открытой

Особенности математической модели транспортной задачи:

• система ограничений есть система уравнений (т.е. транспорт­ная задача задана в канонической форме);

• коэффициенты при переменных системы ограничений равны единице или нулю;

• каждая переменная входит в систему ограничений два раза: один раз - в систему (1) и один раз - в систему (2).

Пример 1. Имеются три поставщика и четыре потребителя. Предложения поставщиков и спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза для каждой пары "поставщик — потре­битель" сведены в таблицу поставок (табл. 1).

Табл.1

Постав -щики	Предло-жения постав­щиков	Потребители и их спрос
		1	2	3	4
		20	110	40	110
1	60	1	2	5	3
2	120	1	6	5	2
3	100	6	3	7	4

Уравнения балансов для каждой строки таблицы поставок, т. е.

Уравнения балансов составляем для каждого столбца таблицы поставок:

.

Рассмотрим закрытую транспортную задачу.

Модификация симплекс - метода применительно к транспортной задаче называется распределительным методом.

Число базисных переменных ТЗ равно рангу системы линейных уравнений (максимальному числу ли­нейно независимых уравнений в системе ограничений).

Теорема 1. Ранг системы уравнений (1), (2) равен .

Основное следствие теоремы 1 - число базисных (основных) переменных закрытой транспортной задачи равно , где т - число поставщиков, п — число потребителей.

Распределение поставок называется базисным, если переменные, соответствующие заполненным клет­кам, можно принять за базисные переменные.

Клетки, отвечающие базисным переменным - базисные, «заполненные» клетки;

клетки, соответствующие свободным переменным, — сво­бодные или пустые.