ДС Радиооптика_1 / Литература ч.1 / 72

[(

mez )

nez ]dl

[ ( m n )

nez (

mez )]dl

L

L

n

m

dl

0.

m

n

n

n

L

H

m

H*

dS 0, m n.

n

I

EH

(E

m

H*

)e

dS i

*

[

n

(

n

e

z

)]e

dS.

n

z

m n

z

S

S

I

EH

i

m n

[ (

m n

e

z

)

n

e

z

2

]e

dS i

m n

k 2

m n

dS.

m

z

m

S

S

(E m H* m )ez dS i

m n k 2m m n dS 0 m n.

(3.72)

S

N

N

E

Em ; H Hm .

m 1

m 1

N N

N

P 0.5Re (E H* )e

dS

0.5Re

(E

m

H* )e

dS

P ,

z

n z

m

S

m 1 n 1 S

m 1

где

Pm 0.5 Re

(Em

H*m )ez dS —

(3.73)

S

Nm

(Em

H*m )ez dS

k k 2 e 2 z

|

m |2

dS,

(3.74)

пропорциональную

S

S

нормой

собственной

мощности Рт, называют

Отформатировано: По ширине

волны. Используя первую формулу Грина (П1.26), найдем

Nm

k m e 2

z

|

m |2

dS.

(3.75)

S

Можно

убедиться,

что

соотношения

ортогональности

Отформатировано: По ширине

справедливы для Н-волн, а также и в том случае, когда одна из волн

принадлежит к волнам Е-типа, а другая — к волнам Н-типа. Что

касается гибридных волн, то, в силу граничных условий, оператор

Лапласа для них не является самосопряженным и может иметь

комплексные собственные значения. Поэтому для гибридных волн

соотношения ортогональности, вообще говоря, не справедливы.

Площадь поперечного сечения S открытых линий передачи не

ограничена, поэтому поверхностные интегралы могут расходиться.

Соотношения ортогональности в этом случае не выполняются. Однако,

если поле собственных волн в открытой ЛП достаточно быстро

убывает в поперечном направлении, интегралы при S

имеют

конечный предел и такие волны обладают свойством ортогональности.

Если в ЛП наряду с волнами, распространяющимися в

положительном направлении оси z (падающими), имеются волны,

распространяющиеся в обратном направлении (отраженные), то

соотношение ортогональности (3.72) необходимо обобщить.

Обозначим волны, распространяющиеся в отрицательном направлении

оси z, отрицательными индексами. Так как распределение поля

падающих и отраженных волн в поперечном сечении одинаково, –

m = m, k –m = k m, k||–m= – k||m. Используя эти соотношения, вычислим

I

[(E

m

H*

) (E

n

H*

)e

dS.

S

n

m

z

Воспользовавшись (3.72), получим

I i (

m n

k 2

n m

k 2

)

m n

dS i

(k

m

k 2

k

n

k 2

)

m n

dS.

n

m

S

n

m

S

I 2

m

|

m |2 dS Nme

0.

S

Таким образом,

[(E

m

H*

)

(E

n

H*

)e

dS

0,

n

m .

(3.76)

n

m

z

e

,

n

m

S

Nm

Nme 2 i | Nm | e2 z 2 i m

|

m |2 dS —

S

P

1

Re (E H* )ez dS.

(3.77)

2

S

В общем случае напряженности электрического и магнитного полей

Отформатировано: По ширине

имеют

как

поперечные,

так и продольные составляющие:

E E

Ezez ;

H H Hzez .

Подставив эти выражения в (3.77) и

произведя перемножение, получим

P

1

Re

(E

H* )ez dS,

(3.78)

2

S

Как видно, мощность передается только поперечными составляющими

Отформатировано: По ширине

электромагнитного поля волны. Поскольку вклад в энергию,

запасенную в единице длины линии передачи W1, вносят

все

составляющие электромагнитного поля, скорость переноса

энергии

vэ = P/W1 у волн,

имеющих продольные

составляющие

поля

(и,

следовательно, обладающих дисперсией), всегда меньше, чем у

поперечных волн (волн типа T).

Используя связь (3.49) между поперечными составляющими поля

в ЛП, формулу (3.78) можно переписать следующим образом:

P

1

| E |

2

dS

1

Re Zc

S | H |

2

dS.

93.79)

2 Re Zc S

2

P

0.5 Re(k*k / Z0 ) e 2 z

|

e |2

dS.

(3.80)

S

Для H-волн получаем

P

0.5 Re(kk *Z0 ) e 2 z

|

m |2

dS.

(3.81)

S

Для многих технических приложений важно

максимальную

Отформатировано: По ширине

мощность, которую можно передать по данной линии передачи. Как

следует из формул (3.45), (3.47), напряженность электрического поля в

ЛП пропорциональна мембранной функции. Поэтому по мере

увеличения передаваемой

мощности

растет

напряженность

электрического поля в ЛП, что может привести к электрическому

разряду (пробою) в заполняющей линию среде. Ввиду высокой

концентрации электронов в области разряда ее сопротивление очень

мало, и волна практически полностью отражается от разрядного

промежутка, т. е. передача энергии по ЛП прекращается. Кроме того,

высокая температура в области разряда может привести к разрушению

линии передачи. Поэтому значение пробивной напряженности

электрического поля Eth является одним из важных параметров ЛП.

Оно зависит от заполняющей

волновод

среды, частоты и других

m

e

k 2

e

i k Z

i kZ Y

;

s

l

s 0

n

e

m

k 2

m

i k Z

i kZ Y

.

s

l

s 0

n

из которых следует, что при Zs

0 в ЛП распространяются гибридные

Отформатировано: По ширине

волны.

Этот

эффект

впервые

был

подробно

исследован

Б. З. Каценеленбаумом в 1953 г. Отметим, что если для данной волны

/ l = 0,

она

распространяется

в

ЛП с

конечной проводимостью

стенок "в чистом виде", без примеси волн другого типа.

Если

поверхностное

сопротивление

Zs

достаточно мало, то можно

пренебречь вторыми членами в левой части записанных равенств. В

таком приближении граничные условия для Е- и Н-волн разделяются:

k k

k k

2

2

k

k

k '

1 i

.

k 2

k 2

Отсюда

k 2

k 2 ;

(3.83)

д

м ,

(3.84)

где

k k

k tg

;

(3.85)

д

/ k )2

2 1

(k

k k

k k

—

(3.86)

м

)2 1

2

(k / k

постоянные

затухания,

обусловленные

потерями в диэлектрике и

Отформатировано: По ширине

металле. В данном приближении эти потери и их можно вычислить

независимо.

При

0

постоянные

д

и

м

стремятся к бесконечности.

Однако следует отметить, что при малых

становится неприменимым

приближение, для которого получены соотношения (3.83) – (3.86). На

высоких частотах

k' и выражение для

d упрощается:

м

0.5k'tg ,

что совпадает с формулой (3.36) для плоской электромагнитной волны.

Для определения необходимо решить уравнение (3.25) с

комплексными граничными условиями третьего рода (3.82). Несколько

примеров решения этой сложной задачи для простейших случаев

приведены в монографии Л. Левина [16]. Более простой метод

вычисления

m

основан на

том,

что

для металлов

с

высокой

знаку мощности потерь в этом отрезке ЛП: dP=–Pmdl, где Рm —

мощность потерь в металле на единицу длины линии (потери в

диэлектрике не учитываем). Сопоставив эти выражения,

найдем

м = Pm/(2P).

(3.87)

Мощность потерь в единице площади

металлической

Отформатировано: По ширине

поверхности определяется по закону Джоуля-Ленца:

p

0.5R | J

s

|2

0.5R | H |2 .

м

s

s

Отсюда мощность потерь в отрезке линии единичной длины

P 0.5R

| H |2 dl,

м

s

L

Rs

| H |2

dl

(3.88)

L

.

м

2 Re Zc

| H |2 dS

s

Описанный метод расчета называется энергетическим. Он справедлив

Отформатировано: По ширине

при условии, что поля в реальной ЛП и ЛП с идеально проводящими

поверхностями совпадают, что,

в

свою

очередь, справедливо при

m << .

С учетом соотношений (3.45) – (3.48)

выразим H

и H через

мембранную функцию.

Для поля Е- и Т-типа

H i

e / n;

H i

ee

;

z

e

Rs

k

|

e /

n |2

dl

(3.89)

L

.

м

2 Re Z0

|

e

|2 dS

S

Для H-волн

| H |2 | Hl |2

| Hz |2

2 |

m / l |2

| k2 m |2 ;

m

Rs

|

m / l |2

k

4

| m |2 dl

(3.90)

L

L

.

м

2

2 Re Z0 k

|

m |2 dS

|

m |2 dS

S

S