Лекция 3

Стоячие волны

Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встечается с границей раздела сред, то она может частично отражаться, частично проникать во вторую среду.

Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении. В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат сложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Например, колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки во всех струнных музыкальных инструментах.

Волны, бегущие по струне во встречных направлениях, при определенных условиях они могут образовать стоячую волну.

Пусть струна длины l закреплена так, что один из ее концов находится в точке x = 0, а другой – в точке x = l (рисунок слева). По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:

1)  y₁ = y_mA cos (ωt + kx) – волна, бегущая справа налево;

2)  y₂ = –y_m A cos (ωt – kx)– волна, бегущая слева направо.

В точке x = 0 (один из закрепленных концов струны) падающая волна y₁ в результате отражения порождает волну y₂. При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции y = y₁ + y₂ =  (–2x_m sin ωt) sin kx.

Это и есть стоячая волна. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами.Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.

Оба неподвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (x = 0). Для выполнения этого условия и на правом конце (x = l), необходимо чтобыkl = nπ, где n – любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина l струны равняется целому числу полуволн, т.е. , где n=1,2,3… . В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе.

Распространяющаяся волна несет с собой энергию. Интенсивностью волны называется величина, численно равная потоку энергии, проходящей через поперечное сечение площадью 1м² за 1 с и длиной, равной скоростью волны, т.е.    (25). Интенсивность зависит от свойств среды (первые два сомножителя), и характера движения точек в волне (выражение в скобках). Величину I называют также плотностью потока энергии. 

Звуковые волны

Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом. Диапазон звуковых частот лежит в пределах от 20 Гц до 20 кГц. Волны с частотой менее 20 Гц называются инфразвуком, а с частотой более 20 кГц – ультразвуком. Волны звукового диапазона могут распространяться не только в газе, но и в жидкости (продольные волны) и в твердом теле (продольные и поперечные волны). Изучением звуковых явлений занимается раздел физики, который называют акустикой.

При распространении звука в газе атомы и молекулы колеблются вдоль направления распространения волны. Это приводит к изменениям локальной плотности ρ и давления p. Звуковые волны в газе часто называют волнами плотности или волнами давления.

Скорость распространения звуковых волн определяется инертными и упругими свойствами среды. Скорость распространения продольных волн в любой безграничной однородной среде определяется по формуле  , где B – модуль всестороннего сжатия, ρ – средняя плотность среды. Скорость звука при нормальных условиях (то есть при температуре 0 °С и давлении 1 атм) равна 331,5 м/с, а скорость звука при температуре 20 °С и давлении 1 атм равна 343 м/с.

При восприятии различных звуков человеческое ухо оценивает их прежде всего по уровню громкости, зависящей от интенсивности звуковой волны. Воздействие звуковой волны на барабанную перепонку зависит от звукового давления, то есть амплитуды p₀ колебаний давления в волне. Порог слышимости соответствует значению p₀ порядка 10^–10 атм, то есть 10^–5 Па, болевой порог соответствует значению p₀ порядка 10^–4 атм или 10 Па. Таким образом, человеческое ухо способно воспринимать волны, в которых звуковое давление изменяется в миллион раз.

Еще одной характеристикой звуковых волн, определяющей их слуховое восприятие, является высота звука. Колебания в гармонической звуковой волне воспринимаются человеческим ухом как музыкальный тон. Колебания высокой частоты воспринимаются как звуки высокого тона, колебания низкой частоты – как звуки низкого тона. Звуки, издаваемые музыкальными инструментами, а также звуки человеческого голоса могут сильно различаться по высоте тона и по диапазону частот. Так, например, диапазон наиболее низкого мужского голоса – баса – простирается приблизительно от 80 до 400 Гц, а диапазон высокого женского голоса – сопрано – от 250 до 1050 Гц.