Яни

5.3.2. Роз в ’ язати рівняння

2 xy 2 dx − ydy = yx 2 dy − 6 xdx .

а ) ln( x2 +1) = C + ln( y2 + 3);

б ) C ( x2 +1) =

y 2 + 3;

в ) C ( x2 +1) = y2 + 3;

г ) y2 + 3 = C( x2 −1);

д ) інша відповідь .

5.3.3. Роз в ’ язати рівняння

(1 − x 2 )dy − (2xy 2 − xy)dx = 0 .

а ) Cy = (2 y −1)2

1 − x2 ;

б ) Cy = (2 y +1)2

1 − x2 ;

в ) Cy = (2 y −1)2

x2 −1;

г ) y 2 =

C

(2 y −1)2

;

1 − x2

д ) інша відповідь .

5.3.4. Роз в ’ язати рівняння

x ⋅ y′ ln y − y = 0 .

а ) 1 ln y

= Cx;

б ) ln y = 1 ;

Cx

в ) ln 2 y = 2 ln Cx ;

г ) Cx ln y = 1;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.5. Роз в ’ язати рівняння

x cos 2 ydx − x 2 sin 2 ydy = 0 .

а ) Cx = ln

1 ;

cos 2 y

б ) cos 2 y =

1 ;

ln Cx

в ) (Cx)2 = cos 2 y;

г ) cos 2 y =

1 ;

Cx2

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.6. Роз в ’ язати рівняння

6 xdx − 2 x 2 ydy = 6 ydy − 3xy 2 dx .

а ) y 2 − 2 = C

( x2 − 3)3 ;

б ) y 2 + 2 = C

( x2 − 3)3 ;

в ) y 2 − 2 = C

( x2 + 3)3 ;

г ) y 2 − 2 = C ( x2 − 3);

д ) інша відповідь .

5.3.7. Роз в ’ язати рівняння

xy 2 dx − ydy = yx 2 dy − xdx .

а ) y 2 +1 = C ( x2 −1);

в ) y 2 −1 = C ( x2 −1);

б ) y 2 −1 = C ( x2 +1);

г ) C = ( x2 +1)( y 2 −1);

д ) інша відповідь .

5.3.8. Роз в ’ язати рівняння

tgx sin 2 ydx + cos 2 xctgydy = 0 .

а ) tgx + tgy = C;

б ) tg 2 x + ctgy = C;

в ) tg 2 x + ctg 2 y = C;

г ) tg 2 x − ctg 2 y = C;

д ) інша відп овідь .

5.3.9. Роз в ’ язати рівняння

x x 2 + 1dx −

ydy = 0 .

а ) C = 2

y3 − 1 ( x2 +1)3 ;

б ) C = 1

y3 + 1 ( x2 +1)3 ;

3 3 3 3

в ) C =

y3 +

( x2 +1)3 ;

г ) C = 1

y3 + 2 ( x2 +1)3 ;

3 3

д ) інша відповідь .

5.3.10. Ро зв ’ язати р і вняння

y 2 dy + ctgxdx = y 3 ctgxdx .

а ) y3 −1 = C sin x;

б ) 3 y3 −1 = C sin x;

в ) 3 ( y3 −1)2 = C sin x;

г ) y3 = C sin x +1;

д ) інша відп овідь .

5.3.11. Ро зв ’ язати р і вняння

( xy′ − y)ctg y = x .

x

а ) cos y = Cx;

x

б ) sin x = Cy;

y

в ) sin y = Cx;

x

г ) tg y = Cx;

x

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.12. Ро зв ’ язати р і вняння

xy′(2 y 2 + 4x 2 ) = 3 y 3 + 8xy 2 .

а ) y y 2 + 4 x2 = Cx2 ;

в ) xy y2 + 4x2 = Cx3 ;

б ) xy y 2 + 4 x2 = Cx;

г ) y y 2 + 4 x2 = Cx3 ;

д ) інша відповідь .

5.3.13. Ро зв ’ язати р і вняння

x 2 y′ = y 2 + 6 xy + 6x 2 .

а ) y + 2x = Cx;

y + 3x

б ) y − 2x = Cx;

y − 3x

в ) y + 2x = Cx;

y − 3x

г ) 2 y = Cx + 5 ;

y − 3x

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.14. Ро зв ’ язати р і вняння

( x − y)dx + ( x + y)dy = 0 .

а ) arctg x = ln x ;

б ) arctg y = ln C ;

y C x x

в ) arcctg y = ln C ;

x x

г ) arctg x − ln C

y x

= 0;

д ) інша відповідь .

5.3.15. Ро зв ’ язати р і вняння

y 2 + x 2 y′ = xyy′ .

а ) x = ln Cy ;

y

б ) y = ln Cx ;

x

в ) x = y ln Cy ;

г ) y = x ln Cy ;

д ) і нша відпо в ідь .

5.3.16. Ро зв ’ язати р і вняння

xy + y 2 = (2 x 2 + xy) y′ .

а ) y = ln Cx ;

б ) x = ln Cx ;

в ) x = ln y ;

x y 2

y y2

y Cx

г ) x = y ln Cx ;

y

д ) і нша відпо в ідь .

5.3.17. Ро зв ’ язати р і вняння

( y 2 − 2 xy)dx + x 2 dy = 0 .

а ) y − x = Cxy;

б ) yx − x2 = Cy;

в ) xy + y2 = Cx;

г ) y − x = C ;

x y

д ) і нша відпо в ідь .

5.3.18. Ро зв ’ язати р і вняння

xy′ = y cos ln y .

x

а ) ln Cx = tg ⎛ ln y ⎞ ;

б ) ln Cx = ctg ⎛ 1 ln y ⎞ ;

⎜ x ⎟

⎜ 2 x ⎟

⎝ ⎠

в ) ln Cx = cos2 ⎛ ln y ⎞;

⎝ ⎠

г ) ln Cx = 1 ;

⎜ x ⎟

⎛ y ⎞

⎝ ⎠

д ) інша відповідь .

sin 2 ⎜ ln ⎟

⎝ ⎠

5.3.19. Ро зв ’ язати р і вняння

xy′ − y = xtg y .

x

а ) cos y = Cx;

x

б ) sin x = Cx;

y

в ) sin y = Cx;

x

г ) sin y = Cy;

x

5.3.20. Ро зв ’ язати р і вняння

д ) ін ш а відпо в ідь .

( x − y) ydx − x 2 dy = 0 .

а ) y = ln x ;

б ) xy = ln Cx ;

в ) 1

= ln Cx ;

x C xy

г ) x = ln x ;

д ) ін ш а відпо в ідь .

y C

5.3.21. Ро зв ’ язати р і вняння

y′ =

x + y .

а ) y2 = 2x2 ln Cx ;

y x

б ) y2 = 2 x ln Cx ;

в ) x2 = 2 y2 ln Cx ;

г ) y = 2x ln Cx ;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.22. Ро зв ’ язати р і вняння

y′ − y cos x = sin 2x .

а ) y = 2 sin x +1 + Cesin x ;

в ) y = 2 cos x −1 − Cesin x ;

б ) y = −2 sin x −1 + Cesin x ;

г ) y = 1 − 2 sin x − Cesin x ;

д ) інша відповідь .

5.3.23. Ро зв ’ язати р і вняння

y′ =

y − 1.

x

а ) yx = ln Cx ;

б ) x = ln Cx ;

y

в ) y = ln C ;

x x

г ) y = x ln Cx ;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.24. Ро зв ’ язати р і вняння

y′ + y = 3x .

x

а ) y = x3 + C ;

x

б ) y = x2 + C ;

x

в ) xy = x3 + Cy;

г ) x = y 2 + C ;

y

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.25. Ро зв ’ язати р і вняння

y′ + ytgx = cos 2 x .

а ) y = 2 sin 2 x + C cos x;

б ) y = tgx + C cos x;

в ) y = sin x cos x + C cos x;

г ) y = cos 2 x + C sin x;

д ) інша відповідь .

5.3.26. Ро зв ’ язати р і вняння

x2 x3

y′ − y = x 2 .

x

x3

а ) y = + C;

2

x3

б ) y = + C;

2

в ) y = + Cx2 ;

2

г ) y = + Cx;

2

д ) інша відп овідь .

5.3.27. Ро зв ’ язати р і вняння

y′ − y = x sin x .

x

а ) y = Cx − x cos x;

б ) y = Cx + x cos x;

в ) y = Cx − x sin x;

г ) y = Cx + x sin x;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.28. Ро зв ’ язати р і вняння

y′ + y = 2 ln x + 1 .

x

а ) y = x(ln x + C );

б ) y = x ln x + C ;

x

в ) y = x2 ln x + C ;

x

г ) y = x ln 2 x + Cx;

д ) інша відповідь .

5.3.29. Ро зв ’ язати р і вняння

y′ = x + 1 e x − y .

а ) y = ex + Cx;

x

б ) y = ex − C ;

x2

x

в ) y = ex + C ;

x

г ) y = ex + Cx2 ;

д ) інша відп овідь .

5.3.30. Ро зв ’ язати р і вняння

y′ −

2 xy

1 + x 2

= 1 + x 2 .

а ) y = (1 − x2 )( x + C);

в ) y = (1 − x2 )(C − x);

б ) y = (1 + x2 )(C − x);

г ) y = (1 + x2 )( x + C );

д ) інша відповідь .

5.3.31. Зн айти частинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

x ln y ⋅ y′ = x3 y,

y(0) = e .

а ) 3 ln 2 y = 2 x 3 + 3;

б ) 3 ln 2 y = 3x 3 − 2;

в ) 2 ln 2 y = 2x 3 + 3;

г ) ln 2 y = 6x 3 + 9;

д ) інша відповідь .

5.3.32. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

x3 y′ + y = 7,

y(1) = 5 .

а ) 7 x + xy = 2;

б ) 7 x − xy = 2;

в ) 7 x − xy + 2 = 0;

г ) y = 2 + 7 x ;

x

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.33. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

(2xy + y) y′ = 3 − y 2 ,

y(0) = 2 .

а ) ( y 2 − 3)(2x + 1) = −1;

б ) ( y 2 + 3)(2x − 1) = 1;

в ) 2 y 2 x + y 2 − 6x − 2 = 0;

г ) 2 y 2 x − y 2 + 6x + 2 = 0;

д ) інша відповідь .

5.3.34. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл рівняння

y(π ) = 1.

2

y sin xdx + (cos x −1)dy = 0,

а ) y = 1 + cos x;

б ) y = cos x + sin x;

в ) y = 1 − sin x;

г ) y = 1 − cos x;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.35. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ = (2 y − 3)tgx,

y(2π ) = 6 .

а ) cos x

2 y − 3 = 3;

б ) 2 y − 3 =

2

3 ;

sin x

в ) 2 y + 3 =

3 ;

cos x

г ) y = 9 − 3 cos x ;

2 cos 2 x

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.36. Зн айти частинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ + ex = yy′,

y(0) = 2 .

а ) y

+ y = e x − 1;

б ) y

− y = e x − 1;

в ) y

− y = e x + 2;

2

г ) y

2

− y = 2e x ;

2

д ) ін ш а відпо в ідь .

2

5.3.37. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ cos x = y sin x,

y(π ) = 3 .

а ) cos x = − 3 ;

y

б ) 3 y = cos x;

в ) y cos x = −3;

г ) 3 cos x = y;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.38. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ = xy + ex y,

y(0) = 3 .

а ) ln y = x + e x − 1;

б ) ln y = x

+ e x + ln 3 − 1;

в ) ln y = x

+ e x ;

г ) y = e x +e −1 ;

2

д ) інша відповідь .

3

5.3.39. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

cos2 x(1 + tgx) y′ = y,

y(0) = 3 .

а ) y = 3 − 3tgx;

б ) y + 3 = 3tgx;

в ) y = 3(1 + ctgx);

г ) y = 3(1 + tgx);

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.40. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ctgx + y = 2,

y ⎛ π ⎞ = 2 .

⎝ ⎠

а ) y = 2 −

2 cos x;

б ) y = 2 +

2 sin x;

в ) y +

2 = 2tgx;

г ) y = 2(1 −

2 sin x);

д ) інша ві дпові д ь .

інтеграл р і вняння ( x + 2 y)dx − xdy = 0,

y(1) = 2 .

а ) y = 3x 2 + x;

б ) y = 3x 2 − x;

в ) y = 6x − 1;

г ) y = x 2 + 2;

д ) інша ві дпові д ь .

5.3.42. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

( x − y) ydx − x2 dy = 0,

y(1) = 1 .

а ) y = x ln(ex);

б ) y = ln(ex) ;

x

в ) y =

x ;

ln(ex)

г ) y = x 2 ln(ex);

д ) ін ш а ві дпо в і д ь .

5.3.43. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння ( y +

xy )dx = xdy,

y(1) = 1 .

а ) y = 2 ln xe ;

x

б ) x = ln xe 2 ;

y

в ) x = 2 ln xe ;

y

г ) 2

y = ln xe 2 ;

x

д ) і нша відпо в ідь .

5.3.44. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ + y (ln ⎛ y ⎞ −1) = 0,

y(1) = 2 .

а ) ln 2 = ln y ;

⎜ ⎟

⎝ ⎠

б ) 1 = ln y − ln x; в )

x = ln y − ln x;

x x x

г ) 1 = ln x ;

д ) і нша відпо в ідь .

y y

5.3.45. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y 2 − 2xy − x2 y′ = 0 ,

y (1) = 1 .

3

а ) 2 y = 3

y − 3x ;

y

б ) −2x = 3

y − 3x ;

y

в ) 3

y − 3x 3

=−

y 4

г ) − 3 y = 3

4

y − 3x ;

y

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.46. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

( y2 − 2 xy)dx + x2 dy = 0,

y(1) = 2 .

а ) y = xy − x 2 ;

б ) x = xy − y 2 ;

в ) y = 2xy − 2x 2 ;

г ) xy = y + x 2 ;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.47. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y 2 + x2 y′ = xyy′,

y(1) = 1.

а ) x = y ln ey ;

б ) y = y ln ex ;

в ) xy = ln ex ;

г ) y = x ln ey ;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.48. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

xy′ − y = ( x + y )ln ⎛ x + y ⎞ ,

y(1) = 1 .

⎜ x ⎟

⎝ ⎠

а ) ln(1 + y ) = xe 2 ;

x

б ) ln( x + y ) = x;

x

в ) ln(

x

x + y

) = xe;

г ) ln(1 + y ) = xe;

x

д ) інша відповідь .

5.3.49. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ = y + sin y ,

x x

y(1) = π .

2

а ) x = 2 yarctgx;

б ) y = 2 xarctgx;

в ) y = x 2 arctgx;

г ) xy = 2arctgx;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.50. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

y

інтеграл р і вняння

xy′ = xe x + y,

y(1) = 0 .

а ) y = x ln 1 − ln x ;

б ) y = x ln 1 + ln x ;

в ) y = −x ln 1 − ln x ;

г ) y = −x ln 1 + ln x ;

д ) ін ш а відпо в ідь .

інтеграл р і вняння

y′ − y = x2 ,

x

y(1) = 0 .

а ) y = x 3 − x;

б ) y = x 3 + x;

в ) y = x2 + x;

г ) y =

x 3 − x

;

2

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.52. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ −

y

x +1

= ex ( x +1),

y(o) = 1 .

а ) y = e x ( x + 1);

б ) y = e x ( x 2 + x);

в ) y = e x ( x − 1);

г ) y = e x ( x 2 − x);

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.53. Знайт и ча стинний розв ’ язок чи частинний

інтеграл р і вняння

y′ + y = 2 ln x +1,

x

y(1) = 3 .

а ) y = x ln x + 3x;

б ) y = x ln x + 3 ;

x

в ) y = x ln x − 3 ;

x

г ) y = x ln x − 3x;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.54. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ − y = −2 ln x ,

x x

y(1) = 1.

а ) y = ln 2 x − x + 2;

б ) y = ln x + x + 2;

в ) y = 2 ln x − x + 2;

г ) y = ln 2 x + x − 2;

д ) інша відповідь .

5.3.55. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ − 2 y

= ( x +1)3 ,

y(0) = 1 .

x +1 2

2 3

а ) y = ( x + 1) ;

2

б ) y = ( x + 1) ;

2

в ) y = ( x + 1) 4 ;

г ) y = ( x + 1) ;

2

д ) інша відп овідь .

5.3.56. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ − y 12

y(1) = 4 .

x x3

а ) y = 4 ;

x 2

б ) y = 4 x 2 ;

в ) y = 4 ;

x 3

г ) y = 4

x 2

+ 1;

д ) інша відповідь .

5.3.57. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ + 3 y = 2 ,

y(1) = 1.

x x3

а ) y = − 2

+ 1 ;

б ) y =

2 + 1 ;

в ) y = − 2

− 1 ;

x 2 x 3

x 2 x 3

x 2 x 3

г ) y =

2 − 1 ;

д ) ін ш а відпо в ідь .

x 2 x 3

5.3.58. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ + y = 3x,

x

y(1) = 1 .

а ) y = ( x + 1) 2 ;

б ) y = x 2 ;

в ) y = x 2 + x;

г ) y = x 2 + x + 1;

д ) ін ш а відпо в ідь .

5.3.59. Знайт и ча стинний розв ’ язок або частинний

інтеграл р і вняння

y′ −