Программирование, вопросы / Лекц / Л_9_ИсслОп

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

Лекция 9

ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Общая характеристика

Задачи управления запасами составляют один из наиболее распространенных классов задач исследования операций, решение которых имеет важное хозяйственное значение. Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов дает возможность высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что (в конечном счете) повышает эффективность используемых ресурсов. Существует большое количество разных моделей задач управления запасами.

Приведем основные характеристики моделей этих задач (18). Элементами задачи (системы) управления запасами являются:

система снабжения;

спрос на предметы снабжения; возможность пополнения запасов;

функции затрат;

ограничения;

принятая стратегия управления запасами. Рассмотрим подробнее каждый из этих элементов.

Системы снабжения бывают: децентрализованные (однокаскадные) и централизованные (многокаскадные).

Спрос на предметы снабжения делится на стационарный или нестационарный, детерминированный или случайный.

Различают такие способы пополнения запасов: мгновенная поставка; поставка с задержкой на фиксированный временной интервал; поставка с задержкой на случайный интервал.

Функция затрат составляет в совокупности критерий эффективности избранной стратегии управления и учитывает (в общем случае) расходы на хранение, стоимость поставок, затраты на заказ каждой новой поставки, штрафы за дефицит.

1

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

Приведем возможные варианты этих составных.

Расходы на хранение бывают: пропорциональные среднему уровню положительного запаса за период времени его существования; пропорциональные остатку запаса к концу периода; нелинейная функция среднего уровня запасов и интервала существования положительного запаса.

Стоимость поставки бывает: пропорциональной объему поставки, постоянной, пропорциональной числу типов поставляемых запасов.

Штрафы вследствие дефицита бывают такие: пропорциональные средней положительной недостаче (дефициту) за период; пропорциональные положительной недостаче к концу периода; постоянные, нелинейные функции от среднего уровня дефицита и продолжительности его существования.

Ограничение в задачи управления запасами вводятся на: максимальный объем запасов; максимальный вес; максимальную стоимость запасов; число поставок в заданный интервал времени; на стоимость поставки; на объем поставки; на вероятность дефицита.

Стратегия управления запасами должна минимизировать выбранную функцию затрат - критерий эффективности.

Рассмотрим некоторые типичные модели задач управления запасами.

Задача управления запасами при детерминированном стационарном спросе и периодических поставках

Рассмотрим простейшую модель управления запасами с постоянной интенсивностью спроса и поставок . Поставки осуществляются периодически с периодом . График изменения запасов показан на рис. 7.8. Обозначим через предельный запас на складе, а Yg - максимальный дефицит.

2

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

Примем, что расходы на хранение (штрафы) пропорциональны среднему уровню запаса (дефицита) и интервалу времени его существования, а расходы на одну поставку фиксированы величиной .

Обозначим через удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени, - удельный штраф за дефицит единицы продукта в единицу времени. При этих предположениях общая функция расходов за период будет иметь следующий вид:

. (7.3.1)

Как следует из рис. 7.8, текущий уровень запасов описывается так:

Максимальный дефицит Yg выражается через (рис. 7.8)

.

Находим и , тогда

Обозначив

Подставляя (7.3.4) в (7.3.2), получаем

(7.3.5)

Найдем выражение для функции затрат с учетом (7.3.4), (7.3.5):

3

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

Средние затраты в единицу времени равны

(7.3.7)

Нужно найти такие значения , , для которых функция минимальна. Для этого составляем и решаем систему уравнений

Из (7.3.8) получим такое соотношение

Наконец, из (7.3.9) получим

Подставляя в уравнение (7.3.11) выражение для из (7.3.10), после несложных преобразований получим

Подставив в (7.3.12) выражение для a из (7.3.3) и поделив числитель и

знаменатель на , получим окончательное выражение для оптимального предельного уровня запаса

4

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

; (7.3.13)

Подставив это выражение в (7.3.10), находим оптимальный период поставки

. (7.3.15)

Рассмотрим теперь частные случаи этой общей задачи:

1) недостаток запасов недопустим (см. рис. 7.9). Тогда положив и подставив в (7.3.13) - (7.3.15), получим

, (7.3.16)

,

2) мгновенные поставки (рис. 7.10). Положив в (7.3.13) - (7.3.15) , ,

получим

5

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

Рис.7.10

Рис.7.11

Соотношение (7.3.20) называются формулами Уилсона, а величина в

(7.3.20) - экономическим размером партии [49].

Задача управления многономенклатурными запасами при ограничении на емкость склада

Рассмотрим задачу создания многономенклатурных запасов при ограничении на суммарную емкость склада.

Пусть для і-го вида продукта (запаса) затраты на заказ фиксированы и составляют , удельные затраты на хранение единицы продукта , , спрос детерминированный с интенсивностью , (i = 1, 2, ., n). Предположим

также, что поставки выполняются мгновенно ( ), и дефицит не допускается( ),причемзаказыпоразным продуктам выполняются независимо.Тогдасредниеобщиезатратыповсем номенклатурам вединицу

, (7.3.21)

где - размер заказа по -и номенклатуре.

Если на запасы наложено ограничение, что средний суммарный уровень не

должен превышать емкости складов, то необходимо минимизировать при ограничении вида

6

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

Сначала определим оптимальный размер заказа по каждой номенклатуре по формуле Уилсона (7.3.20):

оптимальные размеры заказов . В противном случае, необходимо искать минимум (7.3.21) при ограничении

(7.3.24)

Дляэтогоприменимметодмножителей Лагранжа.Составимфункцию

(7.3.26)

Отсюда оптимальный размер заказа определяется соотношением

Модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках

Рассмотрим некоторые задачи управления запасами при вероятностном спросе. Простейшим случаем управления запасами является однократное принятие решений на пополнение запасов [І8]. Рассмотрим этот вариант.

7

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

I вариант. Рассмотрим модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках. Пусть - запас продукта к началу операции;

- запас после пополнения ( ), а ( ) - случайный спрос за время

операции ; - плотность распределения спроса; - расходы на пополнение запасов.

Предположим, что заказ на пополнение выполняется мгновенно. Если к

концу операции на складе остается часть невостребованного запаса , то система снабжения несет расходы на сохранение избыточного запаса

(при , ). Наоборот, при неполном удовлетворении

спроса ( ) система платит штраф за дефицит . Тогда математическое ожидание суммарных расходов системы за период равно

. (7.3.28)

Найдем, при каких значениях величина будет минимальной. Для этого определим

, (7.3.29)

где , , - обозначены частные производные по соответствующим функциям ( в (7.3.29) учтено, что , и

положим ).

В общем случае функция при фиксированных может иметь несколько минимумов.

Обозначим через абсциссу абсолютного

минимума , а через , , точки следующих относительных минимумов,

=и т.д.

8

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

Тогда оптимальная стратегия управления запасами будет такой [18; 49]:

при заказывать ;

при ничего не заказывать;

при заказывать и т.д.

Приведем достаточные условия, при которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, отвечающую одному минимуму функции [49]:

a) - не является относительным минимумом и

c) → ∞ при → ∞.

Поясним физический смысл условий: а) экономическая целесообразность создания положительного запаса; с)

неэффективность слишком больших запасов.

Обозначим через решение уравнения

при заказывать (делать заказа на поставку) ;

при ничегонезаказывать.

ІІ вариант. Допустим, что стоимость пополнения запасов равна при и нулю при . Как видим, в этом случае в сравнении с вариантом І появился дополнительный член (фиксированная плата за заказ). В этом случае заказ целесообразно делать лишь при условии

. (7.3.30)

9

Л_9_ИсслОп = I:\RES_H\WORK\EDUCATION\ХНУРЭ - учебные курсы\ИССЛЕД_ОПЕР\МОЁ\Лекц 2 семестр\Динамическое программ\из IASA - зайченко\Лекция 4.doc"

при заказывать ;

при ничего не заказывать.

В литературе эта стратегия называется 'стратегией двух уровней' или (S,s)- стратегией.

Определение оптимальных уровней запасов при вероятностном спросе и линейных функциях затрат.

Рассмотрим частный случай модели при вероятностном спросе, когда

функции затрат , и -линейные. В этом случае величину можно определить аналитически.

Действительно,

,

тогда

Отсюда для нахождения оптимального уровня запасов получим уравнения

где - функция распределения случайного спроса.

В частности, для спроса, распределенного по закону Рэлея,

10