ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Функції та їх границі / лекция № 11

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 11

з теми: «Видатні границі, еквівалентні функції, зрівняння функцій в околі даної точки.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.03 Функції та їх границі

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Видатні границі, еквівалентні функції, зрівняння функцій в околі даної точки.

Мета:

• Дидактична: вивчити основні властивості границі функції в точці, навчитись знаходити границі функції та застосовувати важливі границі.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну вільно мислити та логічно висловлювати свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням технологій проблемного та проектного навчання.

Тип: лекція № 11

Вид: лекція – дослідження проблемних питань.

Методи та форми проведення заняття: метод проблемного викладення матеріалу, репродуктивний, дослідницький.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Видатні границі, еквівалентні функції, зрівняння функцій в околі даної точки.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основне поняття математичного аналізу – границі функції в точці, яке дає можливість застосування апарату дослідження у будь – яких сферах прикладання математичних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 11.

1. Зрівняння функцій. Видатні границі.

2. Зрівняння функцій в околі заданої точки.

3. Еквівалентні функції.

Конспект лекції № 11.

Тема: «Видатні границі, еквівалентні функції, зрівняння функцій в околі даної точки.»

1. Видатні границі функції в точці (замечательные пределы):

• - перша видатна границя.

• ;

• ;

• - друга видатна границя.

• ;

• ;

• ;

• .

2. Нескінченно малі функції можна порівнювати «за порядком їх спадання», нескінченно великі – «за порядком їх зростання».

Нехай функції ƒ(х) та g(х) задані на множині Х, тобто хХ, та х - скінчена чи нескінченно віддалена точка, причому х Х чи х Х. Будемо вважати, що існує такий окіл точки х : U = U(х) та функція φ(х), яка задана на Х∩U, що для всіх х Х∩U виконується рівність: ƒ(х) = φ(х) g(х).

Визначення 1. Функція ƒ(х) називається функцією, обмеженою відносно функції g(х) в околі точки х, якщо функція φ(х) – обмежена.

Тобто , що означає: |ƒ(х)| ≤ с|g(х)| ().

Якщо ƒ(х) обмежена відносно g(х) в околі точки х, то пишуть ƒ(х) = Ο(g(х)), х → х.

Визначення 2. Функція ƒ(х) називається функцією того ж порядку, що і функція g(х) в околі точки х, якщо існують такі сталі с> 0 та с > 0, що для всіх х Х∩U виконується нерівність: с ≤ |φ(х)| ≤ с.

Тобто , що означає: с|g(х)| ≤ |ƒ(х)| ≤ с|g(х)|.

Якщо ƒ(х) того ж порядку, що і g(х) в околі точки х, то пишуть ƒ(х) ≈ g(х),

х → х. (ƒ(х) ≈ g(х), х → х) ↔ ( ƒ(х) = Ο(g(х)) та g(х) = Ο(ƒ(х)), х → х).

Визначення 3. Функція ƒ(х) називається функцією, нескінченно малою відносно функції g(х) в околі точки х, якщо функція φ(х) – нескінченно мала в околі точки х.

Тобто ().

Якщо ƒ(х) нескінченно мала відносно g(х) в околі точки х, то пишуть ƒ(х) = ο(g(х)), х → х.

Визначення 4. Функція ƒ(х) називається еквівалентною (асимптотично рівною) функції g(х) в околі точки х, якщо ().

Якщо ƒ(х) еквівалентна g(х) в околі точки х, то пишуть ƒ(х) ~ g(х), х → х.

Якщо ƒ(х) = ο(g(х)), х → х та , то функція ƒ(х) називається нескінченно малою більш високого порядку, ніж нескінченно мала g(х).

Приклади. 1).;

;

.

2). ;

3). ;

4). .

3. Ряд еквівалентних функцій:

х ~ sinx ~ tgx ~ arcsinx ~ arctgx ~ ln(1+x) ~ e-1 при х → 0.

Теорема. Для того, щоб функції ƒ(х) та g(х) були еквівалентні при х → х, необхідно та достатньо, щоб ƒ(х) = g(х) + О(g(х)), х → х.

Теорема. Якщо ƒ(х) ~ ƒ(х), g(х) ~ g(х) , х → х та існує , то існує й , причому = .