ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Функції та їх границі / лекция № 7

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 7

з теми: «Способи завдання функції.

Елементарні функції та їх класифікація.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.03 Функції та їх границі

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Способи завдання функції. Елементарні функції та їх класифікація.

Мета:

• Дидактична: повторити основні поняття та визначення функції, вивчити основні елементарні функції, повторити їх властивості та графіки.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну вільно мислити та логічно висловлювати свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням технологій проблемного та проектного навчання.

Тип: лекція № 7

Вид: лекція – дослідження проблемних питань.

Методи та форми проведення заняття: метод проблемного викладення матеріалу, репродуктивний, дослідницький.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Способи завдання функції. Елементарні функції та їх класифікація. Визначення границі функції. Умови її існування.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основне поняття математичного аналізу, яке дає можливість застосування апарату дослідження у будь – яких сферах прикладання математичних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 7.

1. Визначення функції. Способи завдання функції.

2. Поняття елементарної функції. Основні елементарні функції.

Конспект лекції № 7.

Тема: «Способи завдання функції.

Елементарні функції та їх класифікація.»

1. Нехай задані непусті множини Х та Y. Відповідність, при якій кожному елементу х множини Х відповідає один елемент у множини Y , називається функцією, визначеною на множині Х із значеннями з множини Y. Функцію позначають y = ƒ(x), xX, чи ƒ: X→Y . Елемент х називають незалежною змінною чи аргументом, у – залежною змінною чи функцією. Якщо функції приймають числові значення, то над ними можна виконувати арифметичні операції.

Нехай ƒ: X→Y та g: X→Y. Тоді (ƒ + g)(х) = ƒ(х) + g(х);

(ƒ – g)(х) = ƒ(х) – g(х);

(ƒg)(х) = ƒ(х)g(х);

(ƒ/g)(х) = ƒ(х)/g(х), при g(х) ≠ 0.

Функція ƒ(х), що задана на множині Х числової прямої, називається періодичною з періодом Т > 0, якщо .

Якщо функція ƒ(х), що задана на множині Х числової прямої, приймає дійсні значення, то її графіком називається множина на координатній площині, що складається зі всіх точок виду(х, ƒ(х)), хХ. Якщо функції у = ƒ(х) та у = g(х) взаємно обернені, то їх графіки симетричні відносно прямої у = х (бісектриси першого та третього координатних кутів).

Функції можна задати такими способами:

• Графічні (за допомогою графіка функції);

• Табличні (за допомогою таблиць відповідних значень аргументу та функції);

• Аналітичні (за допомогою формул у = ƒ(х) – в явному виді, ƒ(х, у) = 0 – в неявному виді, параметрично задані та інші );

2. Функції: лінійна у = kx + b (k, b – сталі), ступенева у = х, α R, показникова у = а, а > 0, а ≠ 1, логарифмічна у = logx , а > 0, а ≠ 1, тригонометричні y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x та зворотні тригонометричні функції y = arcsin x, y = arсcos x, y = arctg x, y = arcctg x називаються основними елементарними функціями.

Визначення 1. Будь – яка функція ƒ, яка може бути задана за допомогою формули у = ƒ(х), що складається з скінченого числа арифметичних операцій над основними елементарними функціями та їх композицій, називається елементарною функцією.

В множині елементарних функцій виділяються такі класи функцій:

• Багаточлени(поліноми) – функції виду Р(х) = . Якщо , то ціле невід’ємне число n називається ступенем багаточлена Р(х). Багаточлени визначені на всій числовій осі.

• Раціональні функції - функції виду ƒ(х) = , де Р(х) та Q(х) – багаточлени (Q(х) ≠ 0). Функція ƒ(х) визначена всюди, окрім тих точок, де Q(х) = 0.

• Ірраціональні функції – такі не раціональні функції, які можуть бути задані композицією скінченого числа раціональних функцій, ступеневих функцій з раціональними показниками та чотирьох арифметичних дій.

• Трансцендентні функції – елементарні функції, що не є раціональними чи ірраціональними.

Приклади.

1. Лінійна функція у = kx + b (k, b – сталі).

Лінійна функція задається рівнянням: y = kx + b.

Лінійна функція зростає при k > 0 та спадає при k < 0. Графік лінійної функції є пряма лінія, що проходить через точку M(0,b) паралельно графіку функції y = kx. Якщо k = 0, графік лінійної функції є пряма, паралельно осі абсцис, що проходить через точку b на осі ординат.

Функція виду y = kx проходить через початок координат, і утворює з віссю абсцис кут, тангенс якого дорівнює коефіцієнту пропорціональності k.

2. Ступенева функція у = х, α R.

3. Показникові функції у = а, а > 0, а ≠ 1.

4. Логарифмічна функція у = logx , а > 0, а ≠ 1.

5. Тригонометричні функції y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x

Властивості функції y=sinх:

1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).

2. Область значень – проміжок [-1;1].

3. Функція непарна, періодична з періодом Т=2П.

4. Функція зростає при -П/2+2Пn<х<П/2+2Пn, n є Z.

5. Функція спадає при П/2+2Пn<х<3П/2+2Пn, n є Z.

6. Функція має максимум у точках П/2+2Пn, мінімум у точках -П/2+2Пn, nє Z.

Властивості функції y=cosх:

1. Обл. визначення - проміжок (-∞;+∞).

2. Область значень – проміжок [-1;1].

3. Функція парна, періодична з періодом Т=2П.

4. Функція зростає при -П+2Пn<х<2Пn, nє Z.

5. Функція спадає при 2Пn<х<П+2Пn, nє Z.

6. Функція має максимум у точках 2Пn, мінімум у точках П+2Пn, nєZ.

Властивості функції y=tgх:

1. Обл. визначення – всі дійсні числа, крім точок (П/2+Пn), nєZ.

2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).

3. Функція непарна, періодична з періодом Т= П.

4. Нулі функції – точки Пn, nєZ.

5. Функція зростає на всій області визначення.

6. Функція не має екстремумів.

6. Зворотні тригонометричним функції y = arcsin x, y = arсcos x, y = arctg x, y = arcctg x