ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Функції та їх границі / лекция № 8

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 8

з теми: «Визначення границі функції. Умови її існування. Однобічні границі функції. Властивості границь.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.03 Функції та їх границі

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Визначення границі функції. Умови її існування. Однобічні границі функції. Властивості границь.

Мета:

• Дидактична: вивчити основні визначення границі функції в точці та умови її існування, властивості границі функції в точці.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну вільно мислити та логічно висловлювати свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням технологій проблемного та проектного навчання.

Тип: лекція № 8

Вид: лекція – дослідження проблемних питань.

Методи та форми проведення заняття: метод проблемного викладення матеріалу, репродуктивний, дослідницький.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Визначення границі функції. Умови її існування. Однобічні границі функції. Властивості границь.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основне поняття математичного аналізу, яке дає можливість застосування апарату дослідження у будь – яких сферах прикладання математичних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 8.

1. Визначення границі функції в точці.

2. Умови існування границі функції в точці. Неперервність функції в точці.

3. Однобічні границі та однобічна неперервність функції в точці.

4. Властивості границі функції в точці.

Конспект лекції № 8.

Тема: «Визначення границі функції. Умови її існування. Однобічні границі функції. Властивості границь.»

1. Визначення 1.(по Гейне) Точка а називається границею значень функції ƒ(х), хХ, в точці х, якщо для будь – якої послідовності точок хХ, n = 1,2,…, границя якої є х, тобто , послідовність {ƒ(х)} значень функції ƒ(х) в точках хХ, n = 1,2,…, має своєю границею точку а, тобто .

За допомогою символів визначення записується таким чином:

.

Якщо а – число, то говорять, що функція ƒ(х) в точці х має скінчену границю.

Визначення 2. Проколотою ε – окрестністю точки х Ů(х, ε) називається множина, що отримана видаленням точки х з її окрестності.

Приклади: 1).

2). не існує;

3). .

2. Якщо хХ та існує , то він дорівнює ƒ(х), тобто .

Визначення 3. Якщо , то функція ƒ(х) називається неперервною в точці х.

Лемма. Для того, щоб функція ƒ(х), хХ, мала скінчену чи деякого знаку нескінчену границю в точці х, необхідно та достатньо, щоб для будь – якої послідовності точок хХ, n = 1,2,…, границя якої є х, тобто , послідовність {ƒ(х)} відповідних значень функції мала границю (скінчену чи визначеного знаку нескінченості).

Доведення. Необхідність сформульованої умови для існування границі функції знаходиться у самому визначенні цього поняття.

Достатність. Нехай функція ƒ визначена в проколотому околіточки та нехай для будь-якої послідовності з цього околу, послідовність , n = 1, 2, 3, …., збігається.

Розглянемо дві підпослідовності та в проколотому околі точки , такі, що . Тоді послідовність , k = 1, 2, 3, … також збігається до точці . Відповідно до розглянутого, існують границі , та , причому послідовності та є під послідовностями послідовності .

Згадаємо, що якщо деяка послідовність має границю, то будь-яка її підпослідовність має ту ж саму границю. Тому , , та маємо, що . Таким чином, границі послідовностей , де , n = 1, 2, 3, … та не залежать від вибору послідовності . Позначаючи їх загальне значення через а відповідно до визначення границі по Гейне будемо мати:

3. Визначення 5.(по Коші) Точка а називається границею значень функції ƒ(х), хХ, при х → х, якщо для будь – якого околу U(а) точки а існує такий окіл точки х U(х), що ƒ(Х∩U(х)) U(а).

За допомогою символів визначення записується таким чином:

чи за допомогою околів

.

Якщо границя функції нескінчена, при х → ± ∞, то визначення границі буде:

.

Теорема. Визначення границі функції в точці по Гейне та по Коші еквівалентні.

Доведення. 1. Нехай у сенсі визначення по Гейне. Тоді функція ƒ визначена в деякім проколотому околі точки та для будь-якої послідовності , n = 1, 2, …, має місце . покажемо, що виконується умова .

Припустимо, що це не так, тобто . Тобто існує таке , вибір якого залежить від вибору δ, та для якого буде виконана дана умова .

Будемо послідовно обирати , n=1, 2, …, а відповідні позначати через : , , n=1, 2, …, та маємо . З отриманого слідує, що та , але умова показує, що число a не може бути границею послідовності . Це є протиріччям до визначення границі по Гейне. Отримане протиріччя доводить дане твердження.

2. Нехай тепер у сенсі визначення по Коші. Покажемо, що тоді функція ƒ насамперед визначена в деякім проколотому околі точки . Наприклад, візьмемо ε = 1. Для нього відповідно до визначення по Коші існує таке , що для всіх х виконана умова , та відповідно, для всіх таких значень х визначена функція ƒ. Таким чином, функція ƒ визначена в деякім проколотому околі точки . Візьмемо , n = 1, 2, …, та . Покажемо, що якщо функція ƒ задовольняє умовам визначення границі по Коші, то .

Перевіримо це. Задамо довільно ε та оберемо для нього . Для цього знайдеться таке буде виконано нерівність . З цієї ж умови маємо, що . Тому для всіх буде виконано, що . Це й означає виконання зазначеної в теоремі умови.

4. Введемо наступні позначення: R положимо

; . Якщо множина не пуста, то х = inf ; якщо множина не пуста, то х = sup .

Визначення 6. Нехай задана функція ƒ(х), хХ, та х R. Точка а називається границею значень функції ƒ(х) зліва при х → х, якщо вона є границею функції при х → х по множині .

Визначення 7. Нехай задана функція ƒ(х), хХ, та х R. Точка а називається границею значень функції ƒ(х) справа при х → х, якщо вона є границею функції при х → х по множині .

Однобічні границі функції в точці позначаються так: - границя функції зліва, - границя функції справа. Для позначення границь в 0 та ±∞ використовують позначення: та ; та.

Теорема. Функція ƒ(х), хХ, має границю в точці х= sup = inf,

≠Ø, ≠Ø, тоді та тільки тоді, коли в точці х у функції ƒ(х) існують рівні границі зліва та справа, причому загальне значення цих границь є границею функції ƒ(х) в точці х.

Доведення. Нехай . тоді за визначенням границі функції в точці . Для точок х таких, що та також справедлива рівність . А це, відповідно до визначення по Коші, означає, що число а є границею функції ƒ як зліва, так і справа в точці , тобто та .

Нехай виконано, що в точці х у функції ƒ(х) існують рівні границі зліва та справа. Відповідно до визначення границі функції зліва та справа в точці, маємо, що . Якщо в якості обрати найменше з чисел , то для всіх х, які задовольняють умові х буде виконано . Цей означає, що .

Визначення 8. Функція ƒ(х), хХ, називається неперервною зліва (справа) в точці хХ, якщо ( ).

5. Нехай всі розглянуті функції визначені на множині ХR та хХ – скінчена чи нескінченно віддалена точка.

Властивості границі функції в точці.

1. Якщо функція ƒ(х) має в точці х скінчену границю, то існує така окрестність точки х - U(х), що функція ƒ(х) обмежена на перетині Х∩U(х).

2. Наслідки: Якщо функція ƒ(х) неперервна в точці х, то існує така окрестність точки х - U(х), що функція ƒ(х) обмежена на перетині Х∩U(х).

3. Лемма про збереження знаку. Якщо функція ƒ(х) має в точці х скінчену границю відмінну від 0,тобто , то існує така окрестність точки х - U(х) та число с > 0, що для всіх точок хХ∩U(х) виконана нерівність: ƒ(х) > с, якщо а > 0; ƒ(х) < -с, якщо а < 0.

4. Наслідки: Якщо функція ƒ(х) неперервна в точці х та ƒ(х) ≠ 0, то існує така окрестність точки х - U(х) та число с > 0, що для всіх точок хХ∩U(х) виконана нерівність: ƒ(х) > с, якщо ƒ(х) > 0; ƒ(х) < -с, якщо ƒ(х) < 0.

5. Якщо функція ƒ(х) = с – стала, то .

6. Якщо функція ƒ(х) ≥ с та існує скінчена чи визначеного знаку нескінчена границя , то .

7. Якщо φ(х) ≤ ƒ(х) ≤ ψ(х) та існують скінчені чи визначеного знаку нескінчені границі та , вони рівні між собою, то = = .

8. Якщо існують скінчені границі та , то існують й скінчені границі + , λ, μ R; = , та якщо ≠ 0, то й .

9. Наслідки: Якщо функції ƒ(х) та g(х) – неперервні в точці х, то функції λƒ(х) + μg(х), λ, μ R, ƒ(х)g(х) та ƒ(х)/g(х), де g(х) ≠ 0, неперервні в точці х.

Доведення властивостей границі функції в точці провести самостійно. Можна скористатись підручником - Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998 – Том 1.