ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Функції та їх границі / лекция № 9

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 9

з теми: «Нескінченно малі та великі функції. Критерій Коші існування границі функції.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.03 Функції та їх границі

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Нескінченно малі та великі функції. Критерій Коші існування границі функції.

Мета:

• Дидактична: вивчити основні властивості границі функції в точці, навчитись знаходити границі функції та застосовувати важливі границі.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну вільно мислити та логічно висловлювати свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням технологій проблемного та проектного навчання.

Тип: лекція № 9

Вид: лекція – дослідження проблемних питань.

Методи та форми проведення заняття: метод проблемного викладення матеріалу, репродуктивний, дослідницький.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Нескінченно малі та великі функції. Критерій Коші існування границі функції.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основне поняття математичного аналізу – границі функції в точці, яке дає можливість застосування апарату дослідження у будь – яких сферах прикладання математичних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 9.

1. Нескінченно малі та нескінченно великі функції, їх властивості та зв'язок.

2. Критерій Коші існування границі функції в точці.

Конспект лекції № 9.

Тема: «Нескінченно малі та великі функції. Критерій Коші існування границі функції.»

1. Визначення 1. Функція α(х), хХ, називається нескінченно малою при х→ х, якщо .

Нескінченно малі функції відіграють важливу роль в теорії границь функції в точці.

Лемма. Для того, щоб у функції ƒ(х), хХ, існувала в точці х скінчена границя а, необхідно та достатньо, щоб функція α(х) = ƒ(х) – а була нескінченно малою при х→ х.

Дійсно, якщо , то, визначаючи , отримаємо .

Зворотно, якщо та , то .

Властивості нескінченно малих.

• Теорема. Лінійна комбінація скінченого числа нескінченно малих при х→ х функцій є нескінченно малою при х→ х функцією.

• Добуток нескінченно малої при х→ х функції на обмежену функцію є нескінченно малою при х→ х функцією.

• Наслідки: добуток скінченого числа нескінченно малих при х→ х функцій є нескінченно малою при х→ х функцією.

2. Теорема (критерій Коші): Для того, щоб функція ƒ(х), хХ, мала в точці х скінчену границю, необхідно та достатньо, щоб для любого існувала такій проколотий окіл U(х) точки х, щоб для будь – яких х′Х∩U(х) та х″Х∩U(х) виконувалась нерівність .

За допомогою символів критерій Коші записується таким чином:

.

Доведення.

Доведення необхідності. Нехай . Це означає, що для будь-якого . Нехай , , тоді .

Доведення достатності. Нехай функція така, що та для всіх , виконується нерівність . По-перше, з даної умови маємо, що функція визначена в деякім проколотому околі точки .

Перевіримо, що існує границя функції в точці Візьмемо будь-яку послідовність , та довільно задамо .

Для цього ε існує проколотий окіл , що задовольняє умовам , . Далі, так як , для околу точки існує такий номер послідовність . Але ж послідовність , тобто . Звідси маємо, що ,. Тоді , для всіх отримаємо . Тобто, послідовність задовольняє критерію Коші для послідовностей, й тому збігається.

Таким чином, для кожної послідовності , , яка задовольняє умові послідовність збігається. Звідси, на основі леми про існування границі функції в точці, маємо існування скінченої границі .