ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Похідна і диференціал / лекция № 16

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 16

з теми: «Похідна оберненої, складної функції.

Похідні вищих порядків.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.05 Похідна і диференціал

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Похідна оберненої, складної функції. Похідні вищих порядків.

Мета:

• Дидактична: вивчити основне поняття математичного аналізу – похідну, вивчити її властивості, навчитись диференціювати елементарні, складні та обернені функції.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну логічно мислити та чітко формувати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекції з елементами проблемної та проектної технологій.

Тип: лекція № 16

Вид: лекція – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: язикові, проблемно – пошукові, індуктивні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Похідна оберненої, складної функції. Похідні вищих порядків.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні поняття, пов’язані з диференціюванням елементарних функцій та їх застосуванням при розв’язанні прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 16.

1. Похідна оберненої функції.

2. Похідна та диференціал складної функції.

3. Гіперболічні функції та їх похідна.

4. Похідні вищих порядків.

5. Похідні вищих порядків складних функцій, зворотних функцій та функцій, що задані параметрично.

6. Диференціали вищих порядків.

Конспект лекції № 16.

Тема: «Похідна оберненої, складної функції.

Похідні вищих порядків.»

1. Теорема. Якщо функція у = ƒ(х) неперервна та строго монотонна в околі Ů(х) та має в точці х похідну ≠ 0, то зворотна функція має похідну в точці та .

Приклади:

.

.

2. Нехай функція у = ƒ(х) задана в околі Ů(х) точки х, а функція z = g(у) - в околі V(у) точки у, причому ƒ(Ů)V та визначена складна функція F(х) = g(ƒ(х)).

Теорема. Якщо функція у = ƒ(х) має в точці х похідну , а функція має похідну в точці , то складна функція z = F(х) = g(ƒ(х)) також має в точці х похідну, причому .

Наслідки.(інваріантність форми першого диференціалу). .

3. Гіперболічний синус , гіперболічний косинус .

, .

4. Нехай функція у = ƒ(х) має в похідну у всіх точках кола точки х. Якщо функція теж має похідну в точці , то вона називається другою похідною функції ƒ(х) в точці х та позначається . Похідні більш високих порядків визначаються аналогічно:

Приклади: .

Теорема. Якщо функції задані в околі точки хR, а в самій точці х мають скінчені похідні порядку n, то функції також мають в точці х скінчені похідні порядку n. При цьому мають місце формули:

.

5. Нехай функція у = ƒ(х) подвійно диференційована в точці х, а функція z = g(у) – подвійно диференційована в точці у= ƒ(х), та визначена складна функція F(х) = g(ƒ(х)). Тоді .

Нехай функція у = ƒ(х) подвійно диференційована в точці х, а в її околі неперервна та строго монотонна, причому ≠ 0. Тоді, друга похідна зворотної функції в точці буде: .

Нехай на деякій множині Е задана пара функцій х = х(t), у = у(t), причому одна з них строго монотонна на Е (наприклад х), тобто існує зворотна функція t = t(х), для якої Е є множиною значень. Тоді функція у = у(t(х)) називається параметрично заданою функцією. Вона визначена на множині значень функції х(t).

Якщо функції х = х(t), у = у(t) диференційовані в точці t, а функція х(t) – неперервна та строго монотонна в околі цієї точки та х′(t) ≠ 0, то функція у(t(х)) диференційована в точці х= х(t), причому .

6. Диференціал від диференціалу першого порядку dy = ƒ′(х)dх функції у = ƒ(х), розглянутий тільки як функція змінної х, при умові, що повторний приріст незалежної змінної х співпадає з початковим, називається другим диференціалом d²ƒ(х) функції у = ƒ(х) в заданій точці. Маємо: d²ƒ(х) = ƒ′′(х)dх² чи d²y = y′′dх². Тоді y′′ = .

Аналогічно, диференціал порядку n: тобто .

Диференціали вищих порядків не мають властивості інваріантності форми відносно вибору змінних. Тобто, наприклад, якщо z(х) = z(у(х)) – двічі диференційована функція, то .