ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Похідна і диференціал / лекция № 19

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 19

з теми: «Формула Тейлора.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.05 Похідна і диференціал

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Формула Тейлора.

Мета:

• Дидактична: вивчити основні властивості елементарних функцій, пов’язаних із застосуванням похідної, навчитись застосовувати теореми про середнє при розв’язанні прикладних задач, навчитись розкладати функцію однієї змінної у ряд Тейлора.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну логічно мислити та чітко формувати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекції з елементами проблемної та проектної технологій.

Тип: лекція № 19

Вид: лекція – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: язикові, проблемно – пошукові, індуктивні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Формула Тейлора.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні поняття, пов’язані з диференціюванням елементарних функцій та їх застосуванням при розв’язанні прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 19.

1. Доведення формули Тейлора.

2. Приклади розкладу за формулою Тейлора.

Конспект лекції № 19.

Тема: «Формула Тейлора.»

1. Нехай функція у = ƒ(х) має в точці х похідні до порядку n включно. Потрібно знайти такий багаточлен Р(х) ступеня, не вищого за n, що

При n = 1 ця задача має розв’язок та її розв’язком є багаточлен .

Аналогічно, будемо шукати багаточлен Р(х), що задовольняє надані умови, у вигляді Р(х) = .

Якщо вважати х = х, то при k = 0 маємо: . Далі , вважаючи х = х, при k = 1 маємо: .

Далі, диференцируючи рівність k разів будемо мати: . Тоді, вважаючи х = х, маємо: .

Тоді, якщо коефіцієнти багаточлену Р(х) обрані відповідно до формули , то цей багаточлен задовольняє умови: .

Для обчислення границі застосовуємо правило Лопіталя n – 1 раз. Маємо: , тому

Доведена наступна теорема:

Якщо функція ƒ n раз диференційована в точці х, то в деякому околі цієї точки .

Багаточлен Р(х) = називається багаточленом Тейлора порядку n, формула - формулою Тейлора порядку n для функції ƒ в точці х = х, функція - залишковим членом порядку n формули Тейлора, а його представлення у вигляді - записом залишкового члена у формі Пеано.

Якщо х = 0. то формула Тейлора називається формулою Макларена: Р(х) = ;

- формула Макларена.

Теорема.(теорема одиничності) Якщо функція ƒ задана в околі точки х та має представлення , то таке представлення тільки одне.

2. Приклади: напишемо формули Макларена для основних елементарних функцій.

   1. ƒ = sin х. . Тому, маємо .

   2. ƒ = cos х. . Тому, маємо .

   3. ƒ = . . Тому, маємо . Також, . Для гіперболічних функцій: ,

   4. ƒ = . .ƒ(0) = 1. Тому, маємо . Якщо α – натуральне число, то - формула бінома Ньютона.

   5. ƒ(х) = ln(1+х). Тоді

.

Маємо: .