Методи знаходження асимптот.

1. у = kх + l – рівняння нахиленої асимптоти. При цьому коефіцієнти k та l знаходимо так: чи. Далічи. Отримаємо нахилену асимптоту у = kх + l функції ƒ при х→ +∞ чи х→ - ∞.

2. Горизонтальна асимптота – частинний випадок нахиленої асимптоти. Функція має горизонтальні асимптоти, якщо виконані умови: , де l – стала. Рівняння горизонтальної асимптоти має вид: у = l.

3. Визначення 4. Якщо для функції ƒ виконано хоча б одна з умов чи, то пряма х = хназивається вертикальною асимптотою функції ƒ.

Приклади виконання практичних завдань.

1. Знайти проміжки опуклості графіка функції у = .

Розв’язок:

Область визначення функції: (-∞, +∞). Знайдемо похідні першого та другого порядку функції: ; у′′ = 0 при х = 0. Далі маємо, що y′′<0, при х < 0, y′′>0 при х > 0. Тобто, функція випукла на множині (-∞, 0), вгнута на множині (0, +∞).

2. Знайти точки перегину кривої .

Розв’язок:

Область визначення функції: (-∞, +∞). Знайдемо похідні першого та другого порядку функції: ; у′′ не дорівнює 0 ни при яких значеннях х, та не існує при х = 5. Далі маємо, що y′′<0, при х < 5, y′′>0 при х > 5. Тобто, функція має точку перегину (5, 2).

3. Знайти асимптоти кривої .

Розв’язок:

Область визначення функції: (-∞, 0) та (2, +∞).

Знайдемо вертикальні асимптоти: означає, що х = 2 – вертикальна асимптота. х = 0 – не є вертикальною асимптотою тому, що.

Горизонтальних асимптот крива не має, тому що .

Нахилені асимптоти визначаються рівнянням у = kх + b, де чи, ачи.

При х → +∞ маємо: .

. Тепер маємо рівняння нахиленої асимптоти при х → +∞: у = х + 1.

Аналогічно, знаходимо рівняння асимптоти при х → - ∞.

При х → - ∞ маємо: .

.

Тобто, рівняння нахиленої асимптоти при х → - ∞: у = -х – 1.

Виконати практичне завдання.

П. Е. Данко. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1.

Стор. 179, №№ 1083 – 1086.

Стор. 181, №№ 1091 – 1095.