Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Krivolinejnie_i_poverhnostnie_integrali

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

645.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

б) в полярных координатах.

2.3.Сформулируйте определение криволинейного интеграла первого рода. Зависит ли от направления обхода кривой:

а) криволинейный интеграл первого рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма

2.4.сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла первого рода и вычислении его с помощью определенного интеграла. Напишите соответствующие формулы для

а) плоской кривой, заданной параметрически; в декартовых координатах; в полярных координатах:

б) пространственной кривой, заданной параметрически.

2.5.Для криволинейного интеграла первого рода сформулируйте:

а) свойства линейности и аддитивности; б) теорему об оценке модуля интеграла; в) теорему о формуле среднего значения.

2.6.В случае плоской (пространственной) материальной кривой напишите формулы для вычисления

а) массы кривой; б) статических моментов;

в) координат центра тяжести.

2.7.Сформулируйте определения:

-интегрируемой суммы для криволинейного интеграла второго рода;

-предела интегральных сумм;

-криволинейного интеграла второго рода.

2.8.Зависит ли от направления обхода кривой: а) криволинейный интеграл второго рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма.

2.9.Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла второго рода и сведении его к определенному интегралу. Напишите соответствующие формулы для:

а) плоской кривой, заданной параметрически; в декартовых координатах; в полярных координатах; б) пространственной кривой, заданной параметрически.

2.10.Какое направление обхода замкнутой кривой принимают за положительное?

2.11.Запишите равенство, выражающее связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

2.12.Сформулируйте свойства линейности и аддитивности криволинейных интегралов второго рода.

2.13.Напишите формулу для вычисления работы силы при перемещении материальной точки вдоль кривой.

2.14.Дайте определение односвязной области на плоскости. Является ли односвязной областью: прямоугольник, круговой сектор, кольцо, полуплоскость?

2.15.Напишите формулу Грина для односвязной области и сформулируйте условия, при которых она верна.

2.16.Какие области называются многосвязными? Приведите пример двусвязной области. Что понимается под положительной ориентацией границы многосвязной области?

2.17.Напишите формулу Грина для многосвязной области и сформулируйте условия, при которых она верна.

2.18.Сформулируйте необходимые и достаточные условия

независимости Pdx Qdy от пути интегрирования в односвязной области ☻.

2.19. Пусть d u x, y P x, y dx Q x, y dy в области D . Напишите формулу для нахождения функции u x, y .

5.6. Образцы решения типовых задач по теме «Криволинейные

интегралы».

Пример 1. Вычислить S		ds	, где – отрезок прямой между точками
Пример 1. Вычислить S			, где – отрезок прямой между точками
		x y
A 0, 2	и B 4,0 .

Решение. Это криволинейный интеграл первого рода. Уравнение кривой

задано в явном виде y 1 x 2 , 0 x 4 , поэтому воспользуемся формулой (2).

Находим ds											1					5		dx . Переходим к одномерному интегралу
								2			1					5
					1 yx				dx	1			dx
					1 yx				dx	1	4		dx			2
											4					2

			ds	4				5						4		dx									4
												5											1
							2																				ln 4 ln 2
							2			dx										5	ln			x 2		5		5	ln 2
										dx					1					5	ln	2		x 2		5		5	ln 2
		x y					1				2				1	x 2						2
				0	x			x 2						0											0
															2
							2
							2
Пример					2.		Вычислить												ds , где						– первая арка циклоиды
Пример					2.		Вычислить										2y		ds , где						– первая арка циклоиды

			t sin t
x a			t sin t			0 t 2 .
	1 cost					0 t 2 .
y a	1 cost

Решение. Кривая задана параметрически. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (1). Находим

ds xt 2 yt 2 dt a2 1 cost 2 a2 sin2 t dt a2 2cost dt

dt 2a sin

dt .

2 1 cost

Тогда

dt 2a 32

1 cost

2asin

sin2

			2	1 cost
4a		32		1 cost						dt 2a							32			t sin t 02											4 a											32 .
4a		32								dt 2a							32			t sin t 02											4 a											32 .
		0		2
Пример 3.										Вычислить																	arctg										y				ds ,					где						–		часть спирали Архимеда
Пример 3.										Вычислить																	arctg														ds ,					где						–		часть спирали Архимеда
																																				x
2 , заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале координат.
																										2
Решение.										Кривая																													R						задана							в					полярных						координатах.
Решение.										Кривая																													R						задана							в					полярных						координатах.
																										0
																										0
																																				2
Воспользуемся формулой (3). ds																																			2																		2										d . Тогда
Воспользуемся формулой (3). ds																																			2																		2			d				4 4 2			d . Тогда

					y				R																																						R												R
									2									sin																														2											2
arctg						ds arctg												sin										4 4 2												d 2												1 2					d 1 2 d 1 2
arctg						ds arctg																						4 4 2												d 2												1 2					d 1 2 d 1 2
					x				0								cos																											0															0
									R																3
	2			3					2				2										R	2		2
	2		1 2				2						2		1								R					1 .
			1 2												1													1 .
3									0				3									4

Пример 4. Вычислить x ds , где
																																														y 2 x
1 2											y x2																	x y 2																		y 2 x							.
1 2									1 :																2 :					1 x 2																							.
Решение.											0 x 1																			1 x 2
Решение.
Рис.
По свойству аддитивности интеграла xds xds xds .
																																																				1						2
На кривой 1
												ds													2		dx					1 4x											2		dx
												ds								1 yx							dx					1 4x													dx
				1																1		1																				1 2 1								1 4x					3			1	1 32
				1																		1																																				1
xds x							1 4x					2		dx											1 4x					2	dx					2																	2				2
																																																													5	1 .
																																																													5	1 .
				0																2		0																				2 3 4																0	12
				0																2		0																				2 3 4																0	12
1
На кривой 2
												ds									1 yx2 dx																					dx									dx
												ds									1 yx2 dx													1 1								dx							2		dx
				1															x2			2										1										3
				1																		2																								2
xds x								2 dx																																						2
													2														2 2
													2						2								2 2					2												2
2				0																		1										2												2
2				0																		1
xds xds xds																			1			532 1									3						2				.
xds xds xds																			12			532 1										2									.
					1					2																			dx									dy						dz
Пример							5.				Вычислить																		dx									dy						dz					вдоль					прямолинейного отрезка,
Пример							5.				Вычислить																																						вдоль					прямолинейного отрезка,
																														y									z						x
соединяющего точки M 1,1,1																											и N 2, 4,8 .
Решение. Параметризуем прямую,																																													проходящую через точки M x1, y1, z1
и N x2 , y2 , z2 :								x x1									y y1									z z1							t . Токе M соответствует t 0 , точке N -
и N x2 , y2 , z2 :							x2 x1									y2 y1																	t . Токе M соответствует t 0 , точке N -
							x2 x1									y2 y1											z2 z1

t 1.

x 1 t

x 1 t,

dx dt

dy 3dt

Таким образом,

y 1 3t

или

y 1 3t,

dz 7dt

z 1 7t

z 1 7t,

0 t 1

Тогда

188

ln 2 .

ln 2

1 7t

1 3t

1 t

3 7

1,1

Пример 6. Вычислить

2xydx x2dy

x y .

вдоль линии :

0,0

0 y 1

Решение. Кривая задана в декартовых координатах. Параметризуем ее:

x y2

. Здесь роль параметра t

играет y . найдем dx 2y dy .

: y y

0 y 1

1,1

Тогда

2y y

dy 5 y

dy y

2xydx x

dy 2y

0,0

Пример

7. Вычислить

y x dx z x dy x y dz ,

где - линия

пересечения

сферы

плоскости

y x tg ,

пробегаемая в

x2 y2

z2 a2

направлении против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны оси

OX x 0 , tg 0 .

Решение.

Рис.

Окружность лежит в плоскости y x tg и ее радиус равен a . Тогда параметрические уравнения окружности, лежащей в плоскости y x tg

	z a sin
можно записать в виде			y x tg ,	- угол, образованный
	y a cos , где
		0 2

радиусом окружности с прямой и отсчитываемый против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX . В трехмерной декартовой системе координат параметрические уравнения окружности имеют вид

x a cos cos

y a sin cos , 0 2 .

	z a sin

Приведя криволинейный интеграл к определенному, получаем

y x dx z x dy x y dz a2

cos sin d 2 a2

cos sin

2 a

sin

Пример

помощью

формулы

Грина

вычислить

xy x y dx xy x y dy ,

где

–

окружность

x2 y2

ax ,

пробегаемая

против хода часовой стрелки.

Решение.

Рис

Применяя

формулу

(6),

получаем

P xy x y,

Q xy x y,

x 1,

y 1. Функции P x, y ,Q x, y ,

y x

непрерывны как в точках окружности, так и внутри

односвязной области

a 2

. Следовательно, согласно (6),

D : x

xy x y dx

xy x y dy

dxdy

y x dxdy

a 2

cos

y sin

, I

sin cos

0 2

d 2 sin cos d

d d

Пример

Вычислить интеграл

2,1

2xydx x2dy ,

показав,

что

он не

0,0

зависит от пути интегрирования.

Решение.

Функции

P 2xy

Q x2

непрерывны вместе

со

своими

производными в R2 , причем

. Интеграл не зависит от пути

интегрирования.

Выберем какой-нибудь путь, соединяющий точки O 0,0 и A 2,1 .

A(1;2)

	O		B(1;0)
	Рис			2,1
				2,1
	Соединим точки O	и	A ломаной OBA.	Тогда	2xydx x2dy
				0,0
			1	2
	2xydx x2dy 2xydx x2dy		2xydx x2dy 2x 0 dx x2	0 2y 0 1dy
OBA	OB	BA	0	0

		y 0
OB :
	0 x 1
		x 1

BA:
	0 y 2

dy 0

2 2

dy y 0 2.

dx 0 0

Пример 10. Показать, что выражение 4 x2 y2 xdx 4 x2 y2 ydy является полным дифференциалом некоторой функции в R2 . Восстановить функцию

по полному дифференциалу.

Решение.

Обозначим P 4 x2

y2 x ;

Q 4 x2 y2 y .

Проверим

достаточные условия потенциальности поля:

8xy;

8xy .

Таким

образом,

значит,

P x, y dx Q x, y dy 4 x2 y2 xdx 4 x2 y2 ydy

является

полным

дифференциалом некоторой функции u x, y в

R2 .

Будем искать функцию

u x, y с помощью криволинейного интеграла (8)

u x, y

x, y

P x, y dx Q x, y dy C

x0 , y0

u x, y

x, y

4 x2 y2 xdx 4 x2 y2 ydy C

x0 , y0

{в качестве x0 , y0 можно взять точку 0,0 и использовать формулу (8а)}

2 y2

dx 4 x

ydy C x

P x,0 dx Q x, y dy C 4x

x4 2x2 y2 y4 C .

Пример 11. С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный

интеграл ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ,

где

С – окружность

, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с

x y z 0

положительной стороны оси OX .

Решение.

ЗдесьP x, y, z y; Q x, y, z z; R x, y, z x .

Поэтому

0. Таким образом по формуле (10)

( y z)dx (z x)dy (x y)dz cos cos cos dS ,

где

S -

часть

поверхности x y z 0,

ограниченная

длиной

окружности C. Выразим z из уравнения

плоскости z x y

найдём

направляющие косинусы

			z
cos			x
			x

	z 2		z 2
	z 2		z 2
					1
					1
		x		y

						z
	1	;	cos			y
	1					y

3				z	2	z		2
								2


								1
								1
				x			y

1 ; 3

cos			1

	z 2		z		2

					1

		x		y

1 (смотри формулы (5) для явного

задания поверхности) Здесь в формулах взят знак , так как cos 0 .

Таким образом ( y z)dx (z x)dy (x y)dz		3	dS a2		,
		3		3

		3
C		3	S
где a - радиус круга, ограниченного данной окружностью.
Пример 12. Вычислить длину кривой
а) : x 3t; y 3t2 ;z 2t3 от O 0,0,0 до A 3,3,2	0 t 1 .

Решение. Так как l ds (смотри (9))

ds xt 2 yt 2 zt 2 dt 9 36t 36t4 dt 34t4 4t 1 dt

3 2t2 1 2 dt 3 2t2 1 2 dt

	1					2			1		2
l ds 3 2t		2	1	2		2		3			2				(лин. ед.).
					dt 3		t		t	3			1	5
					dt 3	3	t		t	3		3	1	5
	0					3			0			3
б) : y x2 ,			0 x 4 .

Решение. ds yx2 1dx 4x2 1dx .

			4											4																													4
			4											4							1						x							1			1					1
	l ds 4x									2	1dx 2									2	1						x						2	1			1			2		1
																		x				dx 2									x							ln	x x
																		x			4	dx 2						2			x			4			8	ln	x x			4
																					4							2						4			8					4
			0									0																															0
			0									0																															0
					1				1									1			1		1
	2 2 16										ln		4 16											ln
	2 2 16										ln		4 16					4						ln
			4						8									4			4		2
							1	ln 4								1

	2																ln2 (лин. ед.).
				65											65
				65											65
			8									4																								a 0,k 0
	в) Г – часть логарифмической спирали aek ,																																			a 0,k 0					0
	Решение.

		2									2 d
ds		2									2 d								a2e2k				a2k2e2k d aek															1 k2 d

																									1							a						ek 1 (лин. ед.).

	l ds aek										1 k2 d a									1 k2						ek								1 k2
	l ds aek										1 k2 d a									1 k2						ek								1 k2
			0																						k				0			k
			0																						k				0			k
	Пример 13. Найти массу четверти эллипса
	x a cost							, расположенного в первой четверти,																											если плотность в каждой
								, расположенного в первой четверти,																											если плотность в каждой
	y bsint
точке равна ординате этой точки.
	Решение.							x, y y , то есть t bsint
																																	0 t					.
																																	0 t				2	.
	Согласно (10) m x, y ds .																																				2
	Согласно (10) m x, y ds .

															x, y t bsint
	ds					xt 2 yt 2 dt;									x, y t bsint


												2
	m x, y ds bsint a2 sin2 t b2 cos2 t dt
												0


	2																						2
	b sint a2 1 cos2 t b2 cos2 t dt b a2																													b2 a2 cos2 t d cost
	0																						0

b2 ab arcsin . ( - эксцентриситет эллипса).

2 2

Пример 14. Найти координаты центра тяжести однородной дуги винтовой линии x acost; y asint; z bt 0 t .

Решение. Сначала найдем массу кривой, затем статические моменты и, согласно формуле (12), вычислим координаты центра тяжести. Положим

1 , так как кривая однородна, ds a2 b2 dt .

m 1 ds a2 sin2 t a2 cos2 t b2 dt a2 b2 dt a2 b2

Вычислим статические моменты относительно координатных плоскостей по формулам (11)

M XOY z x, y ds bt

dt b a2 b2

M XOZ y x, y ds asint

a2 b2

dt a cost

a2 b2

cos 1 a

1 cos

a a2 b2

MYOZ x x, y ds acost

a2 b2

dt a a2 b2 sin .

Затем по формулам (12) найдем координаты центра тяжести:

MYOZ

sin

M XOZ

a 1 cos

M XOY

b .

F x, y , под действием которой

Пример 15. Найти работу силы

движется материальная точка по эллипсу

1 против часовой стрелки.

Решение. Согласно формуле (13) работу А находим, вычислив интеграл

A xdx ydy xdx ydy . Так

как

xdx ydy

d x2 y2 , то

A 1 d x2 y2 0. (см. 1.3.4)

6. Основные теоретические сведения и образцы решения типовых задач по теме «Поверхностные интегралы».

6.1. Основные сведения из теории поверхностей.

6.1.1. Определение поверхности. Способы задания поверхности.

Определение 1. Поверхностью S называют непрерывное отображение компактной области D R2 в пространство R3 .

Поверхность может задаваться параметрически:

x x u,v

а) координатное представлениеS : y y u,v где функции

z z u,v x u,v , y u,v , z u,v непрерывны в области D .

б) векторное представление

r u,v , где r u,v x u,v i y u,v j z u,v k

поверхность может задаваться явно:	z f x, y , где f x, y непрерывна
в компактной области D (или y x, z	, или x u y, z ).
Замечание. Поверхность, заданная	явно уравнением z f x, y , где

x, y D является частным случаем поверхности, заданной параметрически

z z x, y
	x x	x, y D .
S :
	y y

В дальнейшем будут изучаться в основном лишь поверхности, заданные параметрически. Однако существует еще способ неявного задания поверхности с помощью уравнения F x, y, z 0 , не разрешенного относительно ни одной из переменных.

Заметим, что если функция F x, y, z удовлетворяет в некоторой точке

x0 , y0 , z0 условиям теоремы о неявной функции, то часть поверхности в

некоторой окрестности указанной точки допускает явное представление, а значит, и параметрическое представление.

x x u,v
	u,v D называется
Определение 2. Поверхность S : y y u,v	u,v D называется

z z u,v

простой, если отображение D S взаимно однозначно.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202581.41 Кб0KP_T2.doc
#
01.07.202570.66 Кб0KP_T3.doc
#
01.07.2025206.85 Кб0KP_T_4.doc
#
01.04.2025161.28 Кб1Kratkie_shpory.doc
#
17.09.2019969.22 Кб40Kripograf_15.doc
#
13.04.2015645.02 Кб54Krivolinejnie_i_poverhnostnie_integrali.pdf
#
01.03.2025161.28 Кб1KRS-Adm_prinuzhd.doc
#
16.03.2016655.98 Кб32KR_6_KLASS_25_11_15_t (2).pdf
#
01.07.202513.5 Mб1Kudelya_Oxana_Otchyot.doc
#
01.04.2025419.33 Кб4Kudinova_O_V_TOVAROVEDNIE_ASPEKTI_MARKETINGA_20...doc
#
20.07.2019172.54 Кб43kulqtura.doc