Krivolinejnie_i_poverhnostnie_integrali

3.Вычислить поверхностные интегралы

а) (xy yz zx)ds , где S – часть конической поверхности

S

z x2 y2 , вырезанной цилиндром х2 + у2 = 2х.

б) zdydz ydzdx zdxdy , где S – внешняя сторона границы области

S

0 ≤ z ≤ 1, x2 + y2 ≤ 2x, y ≥ 0. (не применяя формулы Остроградского).

в) x4 y4 2a2 z2 dxdy , где S – часть нижней стороны поверхности

S

az xy , лежащая в первом октанте и внутри цилиндра x2 y2 2 bxy .

4.Применяя формулу Стокса, вычислить интеграл

пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси ох.

5.В каком направлении скалярное поле u (x, y, z) имеет наибольшую скорость изменения в точке М (1, 2, 2)? Чему равна наибольшая скорость, если

с центром в точке O 0;0 . (Движение против хода часовой стрелки.)

8.По какой кривой следует двигаться из точки M 1;1;0 , чтобы поле

u x2 y2 z2 имело наибольшее убувание.

2

Вариант 3.

1.Вычислить криволинейные интегралы:

а) xyds , где L – прямоугольник, ограниченный прямыми

L

x 0, x 4, y 0, y 2;

2.Применяя формулу Грина вычислить:

3. Проверив, что подынтегральное выражение представляет полный

0,0

4.Вычислить поверхностные интегралы:

x 1 y2 z2 , отсеченная плоскостью x 0.

в) y z dydz z x dzdx x y dxdy , где S –часть внешней

5.Применяя формулу Остроградского вычислить поверхностный интеграл

x5dydz y5dxdz 10zx2 y2dxdy , где S – внешняя сторона сферы

S

x2 y2 z2 4.

6.В каком направлении скалярное поле u(x, y, z) имеет наибольшую скорость изменения в точке М(1,1,-1). Чему равна наибольшая скорость,

если u(x, y, z) x3 y3 z3 3xyz ?

Вариант 4.

1.Вычислить криволинейный интеграл

б) Найти работу силы F (x2 2y)i ( y2 2x) j , при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N. L: отрезок MN: M ( 4,0), N (0,2)

0,0

3.Применяя формулу Грина вычислить xydx (y3 x)dy , где L – контур,

L

составленный из дуги гиперболы xy 1 и отрезка прямой y 5 x ,

2

1 x 2 .

2

4.Вычислить поверхностные интегралы

а) (6x 4y 3z)ds , где S – поверхность z xy , вырезанная цилиндром

S

x2 y2 4

б) (z 1)dxdy , где S – внешняя сторона сферы x2 y2 z2 1.

S

в) xdydz y2dzdx z2dxdy , где S – внешняя сторона поверхности

5.Применяя формулу Остроградского, вычислить поверхностный интеграл

z3dydz x3dzdx z2 x2 y2 dxdy , где S – внешняя сторона границы

6.В каком направлении скалярное поле u(x, y, z) имеет наибольшую скорость изменения в точке M (1,1,1) . Чему равна наибольшая скорость,

7.Вычислить работу поля F x3 y3; x y 2 по ломанной ABC где

A 2;1 , B 0;3 , C 2;1 .

8.Найти циркуляцию поля F x3 y; y2 z; z2 x вдоль кривой

x2 y2 4 .

x z 2

9. Найти grad rot F , если F xz; yz; x2 y2 .

Вариант 5.

1.Вычислить криволинейный интеграл

а) (x y)ds , где L – правый лепесток лемнискаты 2 a2 cos2

L

б) Найти работу силы F (x2 2y)i ( y2 2x) j при перемещении вдоль

линии L: 2 x2 y от точки M ( 4;0) к точке N (0;2) 8

2.Применяя формулу Грина вычислить:

(x3 3xy2 )dx (y2 1)dy , где L – пробегаемый в положительном

L

направлении контур треугольника АВС с вершинами A(0,2) B(0,0)

C(0,1) .

3.Проверив, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить

2,3,4

4.Вычислить поверхностные интегралы:

а) (y z 4 x2 )ds , где S – поверхность, x2 y2 4, заключенная

S

между плоскостями z 0 и z 1.

б) x2 y2 zdxdy , где S – верхняя сторона нижней половины сферы

S

x2 y2 z2 1.

1,1, 1

4.Вычислить поверхностные интегралы

а) (xy yz z2 )ds , где S – часть конической поверхности

S

z x2 y2 , вырезанной цилиндром x2 y2 4.

б) x2 y2 zdxdy , где S - верхняя сторона верхней половины сферы

S

x2 y2 z2 1.

в) x2dydz y2dzdx z2dxdy , где S – внешняя сторона поверхности

0 x a,0 y a,0 z a .

6.В каком направлении скалярное поле u(x, y, z) имеет в точке M (1,1,1)

наибольшую скорость изменения? Чему равна наибольшая скорость,

если u(x, y, z) sin(y z) x ?

Вариант 7.

1.Вычислить криволинейные интегралы

а) x2 y2 ds , L где – окружность x2 y2 ax .

поверхностьx yz .

4.Вычислить поверхностные интегралы

7,2,3

4.Вычислить поверхностные интегралы

x 9 y2 ,0 z 2.

хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox .

6.В каком направлении скалярное поле u(x, y, z) имеет в точке М(1,1,1)

наибольшую скорость изменения? Чему равна наименьшая скорость изменения, если u(x, y, z) ln(x y 1) z ?

7.Найти работу поля F xy x y; xy x y по кривой

x2 y2 ax, y 0 от точки A 0;0 до точки B a;0 .

8.Найти циркуляцию поля F xy; yz; xz по кривой

x2 y2 1; x y z 1 положительно ориентированной на верхней стороне плоскости.