Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RjadyGridasovaPopovaSeljakova

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

301.79 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

И.В.ГРИДАСОВА, Г.А.ПОПОВА, Н.И.СЕЛЯКОВА

Ряды

учебное пособие

	∞ f (n)(a)		n
f (x) =	X		(x − a)
f (x) =		n!	(x − a)
	n=0

Донецк 2004

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

И.В.ГРИДАСОВА, Г.А.ПОПОВА, Н.И.СЕЛЯКОВА

Ряды

учебное пособие

Донецк 2004

Ряды (учебное пособие)./ Сост. И.В. Гридасова, Г.А. Попова, Н.И. Селякова. – Донецк: ДонНУ, 2004. – 32 с.

Пособие содержит рабочую программу, краткие теоретические сведения, рекомендации к решению типовых задач, варианты индивидуальных заданий и образцы решений типовых задач по теме Ряды.

Пособие предназначено для студентов II курса специальности Прикладная математика.

УДК 517.521 ББК В161.3я73 Г836

Печатается по решению ученого совета математического факультета ДонНУ (протокол №24 от 27 января 2004 р.)

Составители:	И.В. Гридасова, ассистент,
	Г.А. Попова, доцент,
	Н.И. Селякова, ассистент,
Рецензент	Н.И. Радбель, доцент.
Ответственный за выпуск	В.П. Заставный, доцент.

c ДонНУ

c Гридасова И.В., Попова Г.А., Селякова Н.И., 2004

Содержание

Рабочая программа				4
Варианты индивидуальных заданий				6
I. Числовые ряды				12
1. Основные понятия				12
2. Условия сходимости числовых рядов				14
2.1.	Исследование сходимости положительных рядов . . . . . . . .			15
	2.1.1.	Критерий сходимости положительных рядов . . . . . .		15
	2.1.2.	Признак сравнения. (Различные формулировки). . . .		15
		2.1.2 (а)	Признак сравнения с мажорантным рядом. .	15
		2.1.2 (б)	Общий признак сравнения. . . . . . . . . . .	16
		2.1.2 (в)	Признак сравнения со степенью. . . . . . . .	16
	2.1.3.	Признак Даламбера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		17
	2.1.4.	Признак Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		17
	2.1.5.	Интегральный признак Коши. . . . . . . . . . . . . . .		17
2.2. Исследование сходимости рядов с произвольными членами . .				18
II. Функциональные ряды				23
1. Функциональные последовательности и ряды				23
1.1. Основные понятие сходимости функциональных последова-
	тельностей и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			23
1.2. Исследование функциональных последовательностей и рядов
	на равномерную сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			25
III. Степенные ряды				28
1. Основные понятия и факты				28
1.1.	Интервал и радиус сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . .			28
1.2.	Основные свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . .			29
2. Разложение функции в ряд Тейлора				30

Введение

На втором курсе студенты математического факультета специальности Прикладная математика изучают важнейшую тему математического анализа: числовые и функциональные ряды. Цель данного пособия помочь активному усвоению данной темы. Студенты должны уметь: исследовать числовые ряды на сходимость, находить предельную функцию последовательности, исследовать функциональные ряды на сходимость (в том числе находить область сходимости степенного ряда), раскладывать функцию в степенной ряд, пользоваться рядом Тейлора для приближенных вычислений.

Программа по математическому анализу рекомендует следующую литературу:

1.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1-2

2.Ильин В.А., Садовничий В.А. Курс математического анализа, т. 1-2., М., Наука, 1979

3.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.1-2. М.: Физматгиз, 1960

4.Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу т.2 М.Наука, 1984

5.Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. Учебное пособие, М.,: Наука, 1979.

Рабочая программа Ряды

1.Понятие числового ряда и его суммы. Остаток ряда. Сложение рядов. Умножение ряда на число. Необходимое условие сходимости ряда.

2.Положительные числовые ряды. Критерий сходимости положительных рядов.

3.Достаточные условия сходимости положительных рядов: а) теоремы сравнения рядов; б) признаки Коши и Даламбера; в) интегральный признак.

4.Принцип сходимости Коши произвольных рядов.

5.Понятие абсолютной и неабсолютной сходимости. Теорема об абсолютной сходимости. Применение признаков Коши и Даламбера для исследования на сходимость положительных рядов.

6.Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Признаки Абеля и Дирихле.

7.Свойства сходящихся рядов: а) сочетательное свойство;

б) переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов;

в) перестановка членов неабсолютно сходящихся рядов, теорема Римана.

8.Умножение рядов. Теорема Коши об умножении рядов.

9.Функциональные последовательности и ряды. Равномерная и неравномерная сходимость.

10.Критерий равномерной сходимости в форме Больцано-Коши.

11.Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функционального ряда.

12.Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей:

а) непрерывность суммы функционального ряда и предельной функции функциональной последовательности;

б) почленный переход к пределу в функциональных последовательностях и рядах;

в) почленное интегрирование функциональных рядов и последовательностей;

г) почленное дифференцирование функциональных рядов и последовательностей.

13.Степенной ряд, его промежуток сходимости.

14.Свойства степенных рядов в промежутке сходимости: а) равномерная сходимость; б) непрерывность суммы; в) почленное интегрирование;

г) почленное дифференцирование.

15.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условие разложения функций в степенной ряд.

16.Достаточное условие разложения функции в степенной ряд.

17.Степенной ряд как ряд Тейлора.

18.Разложение в степенные ряды функций: ex, sin x, cos x, ln(x+1), (1+x)α, arctg x.

19.Приближенные вычисления с помощью рядов: а) вычисление числа π; б) вычисление логарифмов.

Варианты индивидуальных заданий

Задача 1. Доказать расходимость ряда, применяя необходимое условие сходимости

n=1 n

sin

√2n

n=1

cos n − 1

∞

∞ n4+1

∞

n 2 +1

∞

√n

n=1 tg

√2n

n=1 arctg(n)

1 − 2n

∞

n=1

n2+1

1 + 3n

n arcsin n+1

n=1

∞

arctg(1+ n1 )

∞

n=1 2

− 1 (

n=1 n ln(1+ 5n1−1 )

+ 2)

∞

P arccos 1 sin n

10.

cos(πn)

arctg

n=1

+1) ln(1+ n2 )

∞

((n+1)!)2

∞

11.

12.

((n+2)!)2

+ 3)

√n

sin

n=1

√n

∞

13.

1 − n

2n arctg

14.

1 +

+ 1)

n=1

n+1

n=1

n10

∞

15.

n=1

(n+2)n

Задача 2. Применяя признаки сравнения исследовать сходимость ряда

∞ sin2(n√

)

∞

cos2( nπ )

∞

2+(

1)n

−

P∞

P∞ arctg

P∞

arcsin

−

n=1

n√n

n=1 n(n+1)(n+2)

n=1 n sin

n=1 √n7

n=1

√n3−3n

1+(−1)n

n+1

∞ arccos (−1)nn

∞ 1+sin nπ

∞

n=1

n2+2

n=1

n3+n+1

2 n

√n2

∞

∞ n n

∞

cos

10.

11.

12.

n=1

n3+5

n=1 n2−3

n=1

√n2−1

∞

cos2 nπ

∞

arcsin 3+(−1)n

∞

cos2 nπ

13.

14.

15.

n=1

3n+2

n=1

2n+n

n=1

n3(n+1)

Задача 3. Применяя признаки сравнения в форме ассимптотических представлений исследовать сходимость ряда

∞

n2+5

e √n 1

n=1 n tg

√n

n=1 ln n2+4

∞

∞ arctg 4√n

−

√

n=1

n+3

n=1

3+7

∞

2n+1

5n+n

n=1

∞

∞ sin

2π

10.

n=1 n

e n

− 1

11.

√

n=1

∞

13.

n=1 arcsin

n2−ln n

14.

n=1 ln

n3−n

12.

15.

∞

Pn3+2

n=1

n5+sin(2n)

∞

sin

√n+1 sin √n

n=1

∞

e n3

n=1

n2 √

∞

√n

n=1 3

− 1

−

∞

n=1 2n+n

Задача 4. Применяя признак Коши (Даламбера) исследовать сходимость ряда

∞

(n!)3

∞

(n+1)!

∞

2nn!

n=1

(3n+1)(2n!)

n=1

∞

(3n+2)!

∞

n! √n

10 2

−

3n+2

n=1

(n+2)!4n

n=1

10nn2

n=1

∞

n n

∞

6n(n2 1)

∞

(n!)2

n=1

∞

(n+1)!

n √n2

10.

11.

12.

n=1 (3n)!

n=1

(n+1)!

n=1

(2n)!

∞

n!(2n+1)!

∞

13.

√

14.

15.

(3n)!

n=1 (n+1)!5n

n=1

2n+3

n=1

Задача 5. Применяя признак Коши (Даламбера) исследовать сходимость ряда

∞

n −n2

∞

2n2+1

∞

n2+1

−1

n+1

n=1

1 + n

n=1

∞

n=1

3n+5

n=1

10n+5

n=1

∞

− e−

∞

n π

arctg

(ln n)n

10.

11.

12.

√n

n=1

∞

nn+2

∞

n5 n

∞

n=1 (2n2

+1)

n=1 (2n+1)

n=1

3n−1

∞

13.

√n

−

14.

−

15.

n=1

2n+1

n=1

4n+1

n=1

12n+1

Задача 6. Применяя интегральный признак исследовать сходимость ряда

	∞	1
1.	P
	P	1
	n=1 n ln2 n(3n+1)
	∞	1
4.	P	1
4.	n=1 (3n−1) ln n
	n=1 (3n−1) ln n
	∞
7.	P
7.		n ln n
	n=1 3
	∞			n
10.	P
10.	n=1 (n2−1) ln n
	∞			n
13.	P
13.			(n2+5) ln n
	n=1

11.

14.

∞

n=1

n ln2 n(2n+1)

∞

n=1

(n+1) ln2 2n

∞

n=1 (n2−1) ln2 n

∞

n=1

(n+5) ln2(n+1)

∞

n=1 (n2−1) ln n

	∞		1
3.	P
3.	P		1
	n=1 (2n−1) ln(2n)
	∞
	P
6.	n=1	(n+2)√			ln(n+3)
	∞			n
9.	P
9.		(n2+5) ln n
	n=1
	∞			n2
12.	P
12.	P		1
	n=1
	∞		√
15.	P

	n=1			ln(n+2)
	n=1

Задача 7. Применяя признак Лейбница исследовать сходимость ряда

∞

n 2n+1

∞

(−1)n2n2

−4

(−1) n(n+1)

−

n2+1

∞

(

1)n+1

∞

n n

(

−

√n3

n=1

√ n

−

n=1

∞

( 1)n(n+3)

∞

(

1)n

−

n=1

ln(n+4)

n=1

(2n+1)22n+1

∞ ( 1)n tg

√n

∞

( 1)n 1

√

−

n=1 (n+1)(

n=1

−1

2 )

∞

(n+1)(

1)n

∞

cos(πn)

√

ln(n+2)

n=1

n+6

12.

15.

∞	(−1)n
P
n=1 (n+1) ln n
∞		n				π
P	−
P	−
n (−1) sin 2n
=1
∞	( 1)n
P							1
n=1 n ln n(n+1)
∞			n
P
n=1(−1)				arcsin			√	n
∞			n			n	n
P	(−1)
n	(−1)				2n+1
=1

Задача 8. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

∞ ln6 n

∞

nπ

cos n cos n

πn

−

cos 5

−

√n

cos 6

1 + n

n=1

√

n=1

−

n=1

∞ sin4 n

∞

(

1)n

∞

ln 1 +

(

1)n

∞

n2+n

∞

(n+1)

sin

(

+1) sin 2

P sin 2

−

n=1

n=1 √

+sin n

n=1

n2−ln n

n=1 ln

nπ

n=1

( 1)[n]+1

n=1

√

−nq

∞

sin(n+ n1 )

∞

sin 2

−

ln(n+1)

nα

∞

sin

∞

(

√

+sin 2n

n=1 (2n+(−1)n)α

n=1

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.07.201923.48 Кб3remont_i_vybytie.docx
#
16.03.201613.35 Кб14Render the article making use of the following scheme.docx
#
20.12.2018123.9 Кб1RE_50_voprosov.doc
#
24.11.20191.57 Mб2Richna_informatsiya_emitenta_tsinnikh_paperiv_z...rtf
#
13.04.201535.61 Кб23ritorika.docx
#
13.04.2015301.79 Кб10RjadyGridasovaPopovaSeljakova.pdf
#
07.11.2018431.1 Кб2robocha_programa_uchbovovyi_distsiplini_Zahist.doc
#
16.03.2016112.2 Кб8RP_SOTsIOLOGIYa_Zhurnalistika (1).docx
#
16.03.201628.71 Mб86Russkaya_memorialnaya_skulptura.docx
#
08.05.2015311.81 Кб7Rus_NHL.pdf
#
06.12.2018688.13 Кб4RU_Тезисы лекций прокурорский надзор в Украине.doc