RjadyGridasovaPopovaSeljakova

Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Для выяснения вопроса о поведении степенного ряда в концевых точках интервала сходимости следует воспользоваться признаками сходимости числовых рядов. Область сходимости степенного ряда состоит из интервала сходимости и, может быть, некоторых граничных точек этого интервала.

Ряд сходится в точках, для которых |x − 1| < 1, т.е. x (0; 2). Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть x = 0, тогда имеем

∞

а ряд P 32n расходится. Следовательно, область сходимости ряда - полуин-

n=1

тервал [0; 2).

1.2.Основные свойства степенных рядов

1.Если степенной ряд (2) имеет радиус сходимости R > 0, то на любом отрезке |x| ≤ r, где r фиксировано и r < R он сходится равномерно.

2.Сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является непрерывной функцией.

3.Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости.

4.Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом интервале, целиком принадлежащем интервалу сходимости.

5.Степенные ряды, получаемые из (2) при почленном дифференцировании и интегрировании, имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (2).

Пример 2. Применяя почленное интегрирование, вычислить сумму ря-

да

x − 4x2 + 9x3 − 16x4 + . . .

29

Решение. Общий член этого ряда имеет вид an(x) = (−1)n−1n2xn. Найдем радиус сходимости

Деля на x, (x =6 0) сумму S(x) данного ряда, а затем почленно его интегрируя на [0, x], |x| < 1, получим

x

ZS(x) dx = x − 2x2 + 3x3 − 4x4 + . . . = x

Нетрудно заметить, что ограничение (x =6 0) здесь можно снять.

2.Разложение функции в ряд Тейлора

Определение 3. Если функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в точке x0 производные всех порядков, то степенной ряд

называется рядом Тейлора функции f (x) в точке x0. В случае, когда x0 = 0, ряд (3) называют рядом Маклорена.

Теорема 1. Для того, чтобы функция f (x) могла быть разложена в ряд Тейлора на (x0 −R, x0 + R), необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно дифференцируема и остаточный член в формуле Тейлора для этой функции стремился к нулю при n → ∞ на указанном интервале.

Функция, разлагающаяся в ряд Тейлора в окрестности точки x0, называется аналитической в точке x0 и её разложение единственно. Имеют место пять основных разложений:

30

Частным случаем разложения (7) является разложение (геометрическая прогрессия)

Эти формулы рекомендуем запомнить.

Приёмы и методы разложения функций в ряд Тейлора

Как правило коэффициенты ряда Тейлора находят с помощью формул (4) - (9), применяя различные приёмы: представление функций в виде суммы более простых функций, замена переменной, почленное дифференцирование и интегрирование ряда, метод неопределённых коэффициентов и др.

Внутри общего интервала сходимости |x − x0| < R имеем

31

получается, если 1 3 разложить по формуле (9). Разложение справедливо

при |x| < 1.

1−x

Пример 4. Разложить в степенной ряд f (x) = arctg x

Решение. Так как

(arctg x)′ = 1 = 1 − x2 + x4 − . . . + (−1)n−1x2n−2 + . . . , |x| < 1 1 + x2

и arctg 0 = 0, то при |x| < 1 имеем

причём последний ряд сходится при всех значениях x. Интегрируя почленно, получим

Так как получился знакочередующийся ряд, то погрешность по абсолютной величине не превосходит величины первого отброшенного члена. Учитывая, что 7·17! < 0, 001, получаем

с точностью до 0, 001.

32