Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RjadyGridasovaPopovaSeljakova

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

301.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

согласно свойствам рядов, вопрос о сходимости такого ряда сводится к исследованию на сходимость его остатка, который является знакопостоянным рядом. В этом случае применяются все признаки сходимости положительных

		∞		∞
рядов (т.к. при an	< 0	n=k an	= − n=k(−an), где (−an) > 0). Если же ряд
имеет бесконечное	множество положительных членов и бесконечное множе-
имеет бесконечное		P		P
ство отрицательных членов, то прежние признаки не работают.
∞			∞		∞		∞
∞			∞		P		∞
Определение 13.	Говорят, что ряд					an сходится абсолютно, если
P		∞	P		n=1		P
P		∞	P				P
сходится ряд n=1 \|an\|. Если ряд n=1 an сходится, а ряд n=1 \|an\| расходит-
		P
ся, то говорят, что ряд an сходится не абсолютно (условно).
		n=1
							∞
При исследовании знакопроизвольного ряда							an на сходимость мож-
			∞				P
							n=1

но составить положительный ряд P |an|, применить к нему признаки сходи-

n=1

∞

мости положительных рядов, если он сходится, то ряд P an сходится абсо-

n=1

∞

лютно. Если же ряд n=1 |an| расходится, то гарантировать расходимость ряда

∞

an нельзя. Однако, применяя признак Даламбера или Коши, можно уста-

∞

n=1

навливать также и расходимость ряда

an.

∞

n=1

a +1

→∞

∞

| = L, то при L < 1 ряд

Признак Даламбера Если lim

|an|

an схо-

n=1

дится абсолютно, при L > 1 ряд

an расходится. При L = 1 о сходи-

n=1

мости ряда ничего сказать

нельзя.

n| =

q, то при q <

ряд

сходится

Признак Коши Если lim

∞ a

→∞

∞

n=1

абсолютно, а при q > 1 ряд

an расходится. При q = 1 о сходимости

n=1

ряда ничего сказать нельзя.P

∞

Признак Абеля. Ряд

anbn сходится, если сходится ряд

an, а

n=1

последовательность {bn} монотонна и ограничена.

∞

Признак Дирихле. Ряд anbn сходится, если последовательность

n=1

bn, начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, а по-

∞

следовательность частичных сумм ряда P an ограничена.

n=1

∞∞

Определение 14. Ряд вида P (−1)nbn (или P (−1)n+1bn,) где bn ≥ 0, на-

n=1 n=1

зывается знакочередующимся рядом.

Признак Лейбница. Если an = (−1)nbn, bn ≥ 0 и последовательность

bn, начиная с некоторого номера m, монотонно стремится к нулю, то

∞

ряд an сходится. При n ≥ m для остатка ряда справедлива оценка

n=1

Rn = (−1)nΘnbn+1 ( 0 ≤ Θn ≤ 1).

∞

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд P sin nα

2n−1

n=1

Решение. Данный ряд имеет бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, причем ряд не является знакочередующим-

ся. Рассмотрим ряд

2n−1

Так как

2n−1

≤

и ряд

сходит-

n=1

sin nα

∞

n=1

∞

sin nα

∞

сравнения сходится и ряд

. Следовательно, ряд

ся, то по признаку

n=1

−

∞

Psin nα сходится абсолютно.

2n−1

n=1

∞

Пример 10. Исследовать сходимость ряда P (−1)n n!

n=1

Решение. Наиболее просто здесь применить признак Даламбера:

lim

|an+1|

= lim

(n + 1)!2n

= lim

n + 1

∞

> 1.

n→∞

|an|

n→∞

2n+1n

n→∞

∞

2nn! расходится.

Ряд n=1(−1)n

Пример 11. Исследовать сходимость ряда

+ . . . +

(−1)n

+ . . .

(α > 0).

−

3α −

2α

4α

nα

Решение.Так как ряд знакочередующийся и

nα

монотонно убывая,

ряд

∞

сходит-

стремится

к нулю, то по признаку Лейбница

(

−

n=1

ся при

0. Исследуем его на абсолютную

сходимость. Так как ряд

∞

сходится при α > 1 и расходится при α

1, то ряд

(

1)n−1

∞

−

≤

n=1 nα

n=1

nα

(

при α > 1 сходится абсолютно, при α

сходится условно.

n=1 −

≤

∞

(−1)n

Пример 12. Исследовать сходимость ряда √ n .

n+(−1)

n=2

Решение. Данный ряд является знакочередующимся, однако признак

Лейбница неприменим, так как

√n+(−1)n

не является монотонной.

Представим общий член в виде:

(−1)n

= ( 1)n

√

− (−1)n

= ( 1)n

√

√n + (−1)n

−

n − 1

−

n − 1 − n − 1

∞

√

∞

Первый ряд n=2(−1)n

сходится по признаку Лейбница, а ряд n=2

рас-

n−1

n−

= O

. Следовательно, ряд

∞

(

1)n

ходится, так как n

√n−

расходится.

−1

n=2

+(−1)

∞

sin

nπ

Пример 13. Исследовать сходимость ряда

√

n=1

Решение. Ряд знакопроизвольный. Используем признак Дирихле. Пред-

ставим

sin nπ4

= anbn, где an

, монотонно убывая, стремится к нулю,

√

а последовательность частичных сумм k=1 sin kπ4

≤

n. Поэтому ряд

sin

π8

∞ sin nπ

сходится.

n=1

√n

P Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость.

sin

nπ

2 nπ

cos

nπ

cos

nπ

sin

≥

−

√3

2√3

∞

cos

nπ

Ряд

расходится как обобщенный гармонический. Ряд

схо-

n=1

2 √n

дится по признаку Дирихле, так как

√n

монотонно убывая, стремится к

нулю, а последовательность

kπ

при

Следовательно, ряд

k=1 cos

≤

cos

∞ sin2 nπ

как сумма сходящегося и расходящегося рядов расходится. Тогда

√

n=1

∞

sin nπ4

∞

sin

nπ4

по признаку сравнения расходится и ряд

Итак, ряд

схо-

n=1

дится условно.

√n

При исследовании сходимости ряда иногда целесообразно использовать

следующие свойства сходящихся рядов:

1.Свойство группировки членов. Члены сходящегося ряда можно группировать произвольным образом, при этом сумма ряда не изме-

нится.

Из этого свойства, в частности, следует, что если после некоторой группировки ряд расходится, то и исходный ряд расходится.

2.Свойство перестановки членов. Если ряд сходится абсолютно, то члены ряда можно переставлять местами в любом порядке, при этом сумма нового ряда останется прежней. Если же ряд сходится лишь условно, то путем соответствующей перестановки его членов можно получить ряд с наперед заданным значением суммы (при этом не

исключается ±∞).

n=1

Весьма полезной при исследовании сходимости может оказаться и следующая лемма.

∞

Лемма. Пусть дан знакопроизвольный ряд an. Обозначим через

n=1

a+n его неотрицательные члены, взятые в том же порядке, в каком они

∞ ∞

расположены в исходном ряде. Образуем ряды P a+n и P a−n . Тогда:

n=1

∞

а) an сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся

n=1

∞∞

P	∞	P	∞	+
ряд	an+ и ряд	an−.
n=1	P	n=1	P
∞	P	an сходится, но не абсолютно, то оба ряда и	P	an и
б) Если ряд		an сходится, но не абсолютно, то оба ряда и		an и
	n=1		n=1

P a−n расходятся.

n=1

∞ ∞

∞

an+

an− сходится, а другой расходится, то

в) Если один из рядов

n=1

an расходится.

ряд

n=1

Пример 14. Исследовать сходимость ряда

−

+ . . . +

−

+ . . .

√

2 − 1

2 + 1

3 − 1

3 + 1

k − 1

k + 1

попарно члены ряда:

. По-

Решение. Сгруппируем

∞

√k−1 − √k+1

= k−1

сле группировки получим ряд k=2

, который расходится, так как он поло-

k−1

жительный и k−1 = O

k .

Следовательно, и исходный ряд расходится.

Пример 15. Исследовать сходимость ряда

1 −

−

+ . . . −

+ . . .

5k−1

42k−1

Решение. Составим ряды из положительных членов и ряд из отрицатель-

ных членов.

∞

a+ = 1 +

∞

. Этот ряд сходится, так как 1 = q < 1.

a− =

k 1 .

4 k−

= q < 1.

∞

n=1

∞

k=1

По

Этот ряд также сходится, так как 1

n=1 n

−

k=2 5

−

сформулированной лемме исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 16. Исследовать сходимость ряда

1 −

−

+ . . . +

−

+ . . .

2k − 1

∞

Решение. Составим ряд из положительных членов: a+

. Он

n=1

k=1

2k−1

расходится, как обощённый гармонический. А ряд из

отрицательных членов

∞∞

an− = −		31k сходится. Тогда, согласно лемме, исходный ряд расходится.
P	P
n=1	k=1

II.Функциональные ряды.

1.Функциональные последовательности и ряды

1.1.Основные понятие сходимости функциональных последовательностей и рядов

Особое внимание следует уделить понятию сходимости и равномерной сходимости рядов и последовательностей. Необходимо уяснить себе различие этих понятий, рассмотреть приводимые в учебниках примеры.

Определение 1. Последовательность функций {fn(x)} называется сходящейся на множестве X, если при каждом фиксированном значении x X числовая последовательность {fn(x)} сходится к числу f (x), то есть ε > 0 и для x X K(ε, x) такое, что n > K(ε, x) справедливо неравенство | fn(x) − f (x) |< ε.

В этом случае пишут lim fn(x) = f (x) на X и f (x) называется пре-

n→∞

дельной фукнцией последовательности {fn(x)} на X.

Определение 2. Последовательность {fn(x)} называется равномерно сходящейся к функции f (x) на множестве X, если ε > 0 K(ε) (зависящее от ε и не зависящее от x) такое, что при n > K(ε) выполняется неравенство | fn(x) − f (x) |< ε одновременно для всех x X. В этом случае пишут {fn(x)} f (x) на X.

Определение 3. Функциональный ряд

∞

fn(x) = f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x) + . . .

n=1

называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если схо-

		∞	n
		∞	P
дится последовательность его частичных сумм Sn(x) =			fk (x), при-
	→∞	P	k=1
	→∞	P
чем S(x) = lim Sn(x) называется суммой ряда		fk (x).
n		k=1
		k=1

∞

Определение 4. Функциональный ряд P fn(x) называется равномерно

n=1

сходящимся к своей сумме S(x) на множестве X, если последовательность частичных сумм {Sn(x)} равномерно сходится к S(x) на множестве X.

Определение 5. Множество всех точек x, где сходится последовательность {fn(x)} называется областью сходимости последователь-

	∞
	P
ности. Аналогично определяется область сходимости ряда	fn(x).
	n=1

Пример 1. Найти область сходимости и предельную функцию для по-

следовательности fn(x) =

1+x

Решение.

Зафиксируем

x (−∞, +∞)

. При

| x |> 1

числовая по-

. Поэтому

следовательность

{

}

неограниченно возрастает при n

→ ∞

lim f (x) =

lim

= 0 при

> 1. При

= 1 f (x) =

n→∞ n

n→∞

1+x n

поэтому lim f x

при

|= 1

. При

{

x2n

} →

0, по-

n→∞

n( ) =

этому lim fn(x) =

lim

1. Итак, область сходимости ряда равна

1+x2n

n→∞

X = (−∞, +∞), а предельная функция

f (x) =

при

x > ,

при

= 1,

при

|x|

< 1.

Пример 2. Найти область

сходимости ряда

+ . . . +

+ . . .

1 + x

Решение. Зафиксируем x и исследуем на сходимость (часто бывает целесообразно на абсолютную) числовой ряд, пользуясь признаками сходимости числовых рядов. Применим признак Даламбера для произвольных рядов

lim

| an+1 |

= lim

| xn+1(1 + x2n) |

| an |

| (1 + x2n+2)· xn |

n→∞

lim

1 + x2n

|x|

при

≤ 1,

при

||x||

| |· n→∞ 1 + x2n+2

> 1.

При

x <

x > 1

lim

an+1

< 1, следовательно ряд

∞

сходится

| |

n→∞ |

n=1 1+x n

абсолютно. При

= 1 lim

= 1 и признак

Даламбера не работает.

an+1

→∞

При x = 1 получаем числовой ряд 12 + 12 + . . . + 12 + . . . , а при x = −1 ряд −12 + 12 − 12 + . . . + (−1)n · 12 + . . . , которые расходятся, так как не выпол-

нено необходимое условие сходимости ряда. Итак, область сходимости ряда равна X = (−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞) и в указанной области ряд сходится абсолютно.

∞

2n−1 sin

Пример 3. Найти область сходимости ряда

n=1

3n−1

Решение. Так как

= 2n−1

sin

( 2 )n−1 x при n

, а ряд

−

(

) −

x =

x (

)

3n−

−

sin

→ ∞

| |

| | n=1

| |

3 −1

n=1

∞

2 n

∞

сходится, то ряд

∞

сходится абсо-

PX = (

, +

)

лютно на множестве

−∞ ∞

1.2.Исследование функциональных последовательностей и рядов на равномерную сходимость

При исследовании функциональных последовательностей на равномерную сходимость используют следующие критерии:

Критерий Коши равномерной сходимости последовательности. Для равномерной сходимости {fn(x)} на множестве X необходимо и достаточно, чтобы {fn(x)} была равномерно фундаментальна, то есть чтобы для ε > 0 K(ε), что для n > K(ε) и p - натурального выпол-

нялось неравенство | fn+p(x) − fn(x) |< ε для всех x X.

Наиболее целесообразно при решении задач использовать

Sup-Критерий равномерной сходимости {fn(x)}. Для того чтобы

{fn(x)} f (x) на множестве X необходимо и достаточно чтобы

lim sup | fn(x) − f (x) |= 0.

n→∞ X

Согласно данному критерию исследование на равномерную сходимость {fn(x)} проводят по алгоритму:

1. Находят предельную функцию f (x) = lim fn(x) и область сходимости

n→∞

2. Находят sup | f (x) − fn(x) | .

3. Находят lim sup | f (x) − fn(x) |= l. Если l = 0, то сходимость равно-

n→∞ X

мерная. Если l 6= 0 (или lim sup | f (x) − fn(x) | ), то последователь-

n→∞ X

ность сходится неравномерно.

Пример 4. Исследовать на равномерную сходимость последователь-

ность fn(x) = 2nx .

1+n2x2

Решение. 1) Сначала найдем предельную функцию. При x (−∞, +∞)

lim	2nx	= 0

	2 2
n→∞ 1 + n x

Следовательно предельная функция f (x) = 0 и последовательность сходится на X = (−∞, +∞).

2) Найдём

sup

| f (x) − fn(x)

sup

2nx

. Заметим,

1+n2x2

(−∞,+∞)

2nx

что функция

нечётная, поэтому

sup

ϕn(x), где

1+n2x2

(−∞,+∞)

[0,+∞)

ϕn(x) =

2nx

. Найдём точки, подозрительные на экстремум функции ϕn(x).

1+n x

ϕ′

(x) =

2n(1 − n2x2)

= 0 при x =

[0, +

∞

(1 + n2x2)2

Так как ϕn( 1 ) = 1, а

lim ϕn(x) =

lim

ϕn(x) = 0, то

sup ϕn(x) = 1.

x→+0

x→+∞

[0,+∞)

3) Находим l	lim sup		\|	f (x)	−	f	(x)	\|	= 1. Так как l = 0, то последо-
	= n	→∞ (−∞,+∞)	\|		−	n		\|	6
		→∞ (−∞,+∞)

вательность fn(x) =	2nx	в области сходимости X = (−∞, +∞) сходится
	1+n2x2

неравномерно. Докажите самостоятельно, что данная последовательность на X = (1, +∞) сходится равномерно.

При исследовании функциональных рядов на равномерную сходимость используют следующие признаки равномерной сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Для равномерной

∞

сходимости ряда ln(x) на множестве Х необходимо и достаточ-

n=1

но, чтобы последовательность его частичных сумм {Sn(x)} была рав-

номерно фундаментальна, т.е. чтобы ε						> 0 K = K(ε) та-
кое, что	n > K(ε)n+p p−				натурального выполнялось неравенство
кое, что			и		натурального выполнялось неравенство
\|(Sn+p(x) − Sn(x)\| =			k=n+1 fk(x) < ε сразу для всех x X.
			P
Необходимое				∞			Для равномер-
Необходимое							Для равномер-
		условие равномерной сходимости.
ной сходимости ряда				P fn(x) на множестве Х необходимо, чтобы
				n=1

lim sup |fn(x)| = 0.

n→∞ X

sup - критерий равномерной сходимости ряда. Для равномерной

∞

сходимости ряда fn(x) на множестве Х необходимо и достаточно,

n=1

чтобы

lim sup

S x

lim sup

R (x)

= 0

(R (x)

−

остаток ряда).

→∞ X

( ) −

n( )| = n

→∞ X

| n

Мажорантный признак Вейерштрасса. Если для функционального

∞

ряда

fn(x) существует сходящийся числовой ряд

an, такой что

n=1

∞

n=1

|fn(x)| ≤ an при n для всех x X, то ряд n=1 fn(x) сходится равно-

∞

an называют мажорантным для ряда

мерно на Х и абсолютно. Ряд

n=1

∞

fn(x).

n=1

Заметим, что для одного и того же ряда

fn(x) можно построить (ес-

n=1

множество мажорантных рядов. Од-

ли fn(x) ограничена на Х) бесконечное

нако признак Вейерштрасса работает только тогда, когда мажорантный ряд сходится. Поэтому оценка |fn(x)| ≤ an не должна быть слишком грубой и

∞

в качестве мажорантного ряда целесообразно использовать ряд P an, где

n=1

an = sup |fn(x)|.

		=	∞
		=	P
Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда fn(x) равномер-
			n=1
но ограничены на множестве Х, т.е.	C		const (0 < c < +	∞	), что
n				∞

|Sn(x)| = | P fk(x)| ≤ C при n для всех x X, а последовательность

k=1

функций {gn(x)} монотонно убывая равномерно стремится к нулю на

∞

множестве Х, то ряд P fn(x)gn(x) сходится равномерно на Х.

n=1

∞

Признак Абеля. Если ряд P fn(x) сходится равномерно на множе-

n=1

стве Х, а последовательность {gn(x)} при x X монотонна и рав-

номерно ограничена, то есть C > 0(0 < C < +∞), что |gn(x)| ≤ C

∞

при n и для всех x X, то ряд n=1 fn(x)gn(x) сходится равномерно на

множестве Х.

∞

Пример 5. Исследовать на равномерную сходимость ряд

на

1+n4x2

X = [0, +

n=1

∞

Решение. Применим признак Вейерштрасса. Для нахождения мажо-

рантного

ряда найдём

sup |fn(x)|. Находим критические точки

. Так как

[0,+∞)

x2n4

то критические точки x

′

−

2 2

1+n

n( )

(1+n

)

. Находим f

lim f x

lim

= 0,

q n

n( n

) =

1+n4

x→+∞

n( ) = x→+∞ 1+n

∞

lim f (x) = f (0) = 0. Итак,

sup

f (x)

Мажорантный ряд

n=1 n

→

[0 +∞)

∞

сходится, значит по признаку Вейерштраса ряд n=1

на [0, +∞) сходит-

1+n4x2

ся равномерно.

∞

xn.

Пример 6. Исследовать на равномерную сходимость ряд

n=1

Решение. Данный ряд сходится абсолютно при |x|

< 1 и расходится

при |x| ≥ 1. Следовательно, область сходимости ряда X = (−1, 1). Най-

sup |xn|. Очевидно sup |xn| = 1. Мажорантный ряд

∞

дем an

an, где

(−1,1)

n=1

Однако, так как

= 1 расходится, признак Вейерштрасса не применим.

lim sup

| = 1 6= 0

то не выполняется необходимое условие равномер-

→

∞ (−1,1)

∞

ной сходимости. Ряд n=1 xn в (−1, 1) сходится неравномерно.

∞

в (0, +

Пример 7.

Исследовать на равномерную сходимость ряд n=1

(−1)

· x+n

∞

Решение. Воспользуемся признаком Дирихле. Представим общий член

ряда в

виде

произведения

(−1)

n·

где

x+n

= fn(n ) · gn(x),

fn( ) =

(−1)n; gn(x)

. Так как | k=1 fk (x)|

= | k=1 (−1)k | ≤ 1 при n и

x+n

x (0, ),

gn(x)

при

x (0P )

∞

{

}

∞

монотонно убывая стремится к нулю,

то остается доказать лишь равномерную сходимость {gn(x)}. Воспользуемся

критерием равномерной сходимости

{

(x)

}

. Найдем

lim

sup (

−

0) =

x+n

→

∞

(0,+∞)

lim 1

= 0. Итак

{

(x)

}

0. Все условия признака Дирихле выполнены.

n→+∞ n

∞

· x+1 n

в (0, +∞) сходится равномерно.

Ряд n=1 (−1)

III.Степенные ряды

1.Основные понятия и факты

1.1. Интервал и радиус сходимости

Определение 1. Функциональный ряд вида

∞
X	(1)
an(x − x0)n	(1)

n=0

называется степенным рядом, an - коэффициенты степенного ряда (они не зависят от x), x0- фиксированная точка на числовой прямой. В частности, если x0 = 0, то получаем степенной ряд вида

∞

anxn

(2)

n=0

Заметим, что заменой x−x0 = t ряд (1) сводится к ряду (2). В дальнейшем будем рассматривать ряды вида (2).

Определение 2. Число R > 0 называется радиусом сходимости степенного ряда (2), если степенной ряд (2) сходится для x : |x| < R и расходится для x : |x| > R. Интервал (−R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Если степенной ряд (2) сходится для x, то R = +∞, если степенной ряд сходится только в точке x = 0, то R = 0.

Радиус сходимости может быть определён по формуле Коши-Адамара

=lim n |an|

R n→∞

или по формуле R = lim | an |, если этот предел существует.

n→∞ an+1

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.07.201923.48 Кб3remont_i_vybytie.docx
#
16.03.201613.35 Кб14Render the article making use of the following scheme.docx
#
20.12.2018123.9 Кб1RE_50_voprosov.doc
#
24.11.20191.57 Mб2Richna_informatsiya_emitenta_tsinnikh_paperiv_z...rtf
#
13.04.201535.61 Кб22ritorika.docx
#
13.04.2015301.79 Кб8RjadyGridasovaPopovaSeljakova.pdf
#
07.11.2018431.1 Кб2robocha_programa_uchbovovyi_distsiplini_Zahist.doc
#
16.03.2016112.2 Кб5RP_SOTsIOLOGIYa_Zhurnalistika (1).docx
#
16.03.201628.71 Mб74Russkaya_memorialnaya_skulptura.docx
#
08.05.2015311.81 Кб7Rus_NHL.pdf
#
06.12.2018688.13 Кб4RU_Тезисы лекций прокурорский надзор в Украине.doc