§1. Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться, либо не появиться. Будем считать, что вероятность наступления события А одна и та же в каждом испытании и равна р, тогда вероятность ненаступления события А в каждом испытании равна q = 1 - р.

Поставим задачу определить вероятность того, что в этихn испытаниях событие осуществится ровно k раз (и, следовательно, не осуществится n - k раз). Не требуется, кстати, чтобы событие А повторилось k раз в определенной последовательности. Например, если произведены 4 испытания, в которых событие А появилось 3 раза, то возможны следующие сложные события:

Обозначим ,- соответственно появление и непоявление событияА в i – испытании (i=1, 2,…….,n), а - событие, состоящее в том, что вn независимых испытаниях событие А появилось k раз. Представим событие через элементарные события:

, где каждый вариант появления события состоит изk появлений события А и n - k непоявлений.

Вывод формулы Бернулли

Вероятность наступления одного сложного события ( вn независимых испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n – k раз) по теореме умножения вероятностей независимых событий равна . Поскольку эти сложные события несовместны, по теореме сложения получим:

++…..+. Число всех комбинаций (слагаемых) равно числу способов выбора изn испытаний k, в которых событие А произошло, т.е. числу сочетаний , тогда

- формула Бернулли

Условие

n

k

p

q

Формула

Р

1

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

5

2

=

0,1323

2

Подбрасываются 5 симметричных монет. Какова вероятность того, что выпало ровно 2 герба?

3

Вероятность того, что расход электроэнергии в течение суток не превысит норму, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит норму.

4

Всхожесть семян данного растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут ровно три.

Условие

D = А+В+С

Вероятности

Р(D)

Событие А

Событие В

Событие С

Р(А)

Р(В)

Р(С)

1

Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 4 до 6 раз (событие D).

Герб выпал 4 раза

Герб выпал 5 раз

Герб выпал 6 раз

=

=

=

2

Автобаза будет работать нормально (событие D), если на линию выйдут не менее 8 автомашин из имеющихся 10. Вероятность невыхода каждой автомашины 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

0,9298

25