§2 Плотность вероятности непрерывной случайной величины
п.1. Определение.
Плотностью вероятности ( плотностью распределения или плотностью или дифференциальной функцией) f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения: .
Найти плотность вероятности случайной величины Х:
№ |
Функция распределения F(x) |
Плотность вероятности f(x) |
1 | ||
2 |
| |
3 |
|
п.2. Cвойства плотности вероятности
Плотность вероятности – неотрицательная функция: .
Доказательство очевидно, т.к. функция F(x) - неубывающая.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (а, в) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до в:
Плотность вероятности случайной величины Х задана функциейf(x). Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значение из данного интервала.
№ |
Плотность вероятности f(x) |
(а, b) |
|
Р |
1 |
(1, 2) |
| ||
2 |
(0,5;1) |
|
|
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (а, b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой распределения f(x) и прямыми
х = а и х = b.
Найти плотность вероятности случайной величиныХ, заданной функцией распределения F(x). Построить графики функций. Найти вероятности Р(x < 1), , показать вероятности на графиках.
Функция распределения F(x) |
Плотность вероятности f(x) |
|
|
х | |
F(1) – ордината графика |
Площадь под кривой распределения на [0,1] |
F(2) - F(1) – приращение ординаты на отрезке [1,2] |
Площадь под кривой распределения на [1,2] |
Найти плотность вероятности случайной величиныХ, заданной функцией распределения F(x). Построить графики функций. Найти вероятность, показать вероятности на графиках.
Функция распределения F(x) |
Плотность вероятности f(x) |
|
|
п.3. Нахождение функции распределения по известной плотности вероятности.
Пусть дана плотность распределенияf(x), найдем функцию распределения F(x). По определению F(х) = Р(Х < х) = =. Итак, F(х) =
По данной плотности распределения найти функцию распределения:
f(x) |
F(x) | ||
|
| ||
|
….. |
….. | |
|
….. |
……. |
F(х)= =+= |
|
….. |
….. |
F(х)==++ +=……………………..
|
По данной плотности распределения найти функцию распределения.
f(x) |
F(x) | |
| ||
|
…. |
…. |
|
…. |
F(х)=………
|
|
…. |
F(х)=………
|
|
…. |
F(х)=………
|
По графику плотности распределения найти функцию распределения и построить ее график
f(x) |
F(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п.4. Вероятностный смысл плотности распределения
Пусть F(x) – функция распределения непрерывной случайной величины X. По определению плотности распределения f(x) = =
Как известно, разность - вероятность того, что Х примет значение из интервала. Таким образом,предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала , к длине этого интервала ( при) равен значению плотности распределения в точке х.
Далее, , т.е..
Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала приближенно равна произведению плотности вероятности в точке на длину интервала.
Геометрически: вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала приближенно равна площади прямоугольника с основанием и высотой f(х). Истинная вероятность, определяемая определенным интегралом , равна площади криволинейной трапеции. Допущенная погрешность равна площади криволинейного треугольника АВС.