§2 Плотность вероятности непрерывной случайной величины

п.1. Определение.

Плотностью вероятности ( плотностью распределения или плотностью или дифференциальной функцией) f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения: .

Найти плотность вероятности случайной величины Х:

№	Функция распределения F(x)	Плотность вероятности f(x)
1
2
3

п.2. Cвойства плотности вероятности

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция: .

Доказательство очевидно, т.к. функция F(x) - неубывающая.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (а, в) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до в:

Плотность вероятности случайной величины Х задана функциейf(x). Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значение из данного интервала.

№	Плотность вероятности f(x)	(а, b)		Р
1		(1, 2)
2		(0,5;1)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (а, b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой распределения f(x) и прямыми

х = а и х = b.

Найти плотность вероятности случайной величиныХ, заданной функцией распределения F(x). Построить графики функций. Найти вероятности Р(x < 1), , показать вероятности на графиках.

Функция распределения F(x)	Плотность вероятности f(x)
	х
F(1) – ордината графика	Площадь под кривой распределения на [0,1]
F(2) - F(1) – приращение ординаты на отрезке [1,2]	Площадь под кривой распределения на [1,2]

Найти плотность вероятности случайной величиныХ, заданной функцией распределения F(x). Построить графики функций. Найти вероятность, показать вероятности на графиках.

Функция распределения F(x)	Плотность вероятности f(x)

п.3. Нахождение функции распределения по известной плотности вероятности.

Пусть дана плотность распределенияf(x), найдем функцию распределения F(x). По определению F(х) = Р(Х < х) = =. Итак, F(х) =

По данной плотности распределения найти функцию распределения:

f(x)		F(x)
	…..	…..
	…..	…….	F(х)= =+=
	…..	…..	F(х)==++ +=……………………..

По данной плотности распределения найти функцию распределения.

f(x)		F(x)
	….	….
	….	F(х)=………
	….	F(х)=………
	….	F(х)=………

По графику плотности распределения найти функцию распределения и построить ее график

f(x)	F(x)

п.4. Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть F(x) – функция распределения непрерывной случайной величины X. По определению плотности распределения f(x) = =

Как известно, разность - вероятность того, что Х примет значение из интервала. Таким образом,предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала , к длине этого интервала ( при) равен значению плотности распределения в точке х.

Далее, , т.е..

Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала приближенно равна произведению плотности вероятности в точке на длину интервала.

Геометрически: вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала приближенно равна площади прямоугольника с основанием и высотой f(х). Истинная вероятность, определяемая определенным интегралом , равна площади криволинейной трапеции. Допущенная погрешность равна площади криволинейного треугольника АВС.