teoreticheskaja_mekhanika-konspekt_lekcij

Чтобы определить движение точки, необходимо знать, как изме% няется с течением времени радиус%вектор rG. Другими словами, должна быть задана вектор%функция rG аргумента t: rG = rG(t). Тра% ектория точки — это геометрическое место концов радиус%векто% ра rG движущейся точки.

Координатный способ задания движения точки. Положение точ% ки М в системе отсчета Oxyz определяется декартовыми коорди% натами точки x, y, z. При движении точки М ее координаты со временем меняются: x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t). Это уравнения дви5 жения точки в декартовых координатах. Уравнения движения, определяющие координаты точки в любой момент времени, мож% но рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Например, уравнения движения точки М имеют вид x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t). Решив 1%е уравнение, получаем

t = ϕ (x ),

после чего можно вычислить уравнение траектории точки в коор% динатной форме:

Линии в пространстве соответствуют два уравнения с тремя координатами.

Пусть движение точки М в плоскости задано уравнениями x = f1(t); y = f2(t); тогда, исключив параметр t, получим уравне% ние точки в координатной форме:

Кроме декартовых координат, для определения положения точки на плоскости и в пространстве используют и другие систе% мы координат (полярные, цилиндрические, сферические и др.).

Способы задания движения точки. Задать движение точки в вы% бранной системе отсчета означает указать метод или способ, с по% мощью которого можно однозначно определить положение точки в пространстве в любой момент времени. Различают три способа задания движения точки:

1)векторный;

2)координатный;

3)естественный.

41

ЛЕКЦИЯ № 18. Скорость точки

Скорость — это векторная величина, которая характеризует быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.

Векторный способ задания движения. Положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиус%вектором rG, который является функцией времени rG= rG(t). Допустим,

Вектор точки в момент времени t:

Таким образом,

→→

v= d r /dt,

аэто значит, что вектор скорости точки в данный момент равен

производной от радиус%вектора точки во времени.

Естественный способ задания движения. Пусть известны траек% тория AB, начало и направление отсчета дуговой координаты, а также уравнение движения точки s = f(t). Дуговые координаты точек M и M1 имеют следующие значения:

s = OM , s1 = OM1 = OM + MM1 = s + s.

Приращение дуговой координаты

s = MM1.

42

Из произвольного центра O’ проведем в точку М радиус%век% тор rG и определим скорость в момент времени t:

Дуговая координата — s, от нее зависит радиус%вектор rG дви% жущейся точкиG. Каждому ее значению соответствует определен% ное значение r.

Пусть

s → 0 его направление стремится к направлению касатель% ной, проведенной из точки М в сторону увеличения дуговой ко% ординаты s. Модуль этого вектора стремится к единице:

v = τ ds /dt.

43

Значит,

→

v = v = ds dt —

модуль скорости равен абсолютному значению производной от дуговой координаты точки по времени.

Координатный способ определения модуля и направления ско% рости точки по уравнениям ее движения. Пусть заданы уравнения

движения точки: x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t). Так как

и

имеют неизвестные модули и направления, т. е. постоянны и могут быть вынесены за знак производной:

Разложение скорости на компоненты по осям координат бу% дет иметь вид:

Подсчитав проекции скорости на оси декартовых координат, можем определить модуль и направление скорости точки по сле% дующим формулам:

v = vx2 + vy2 + vz2 ,

44

ЛЕКЦИЯ № 19. Ускорение точки

Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и на%

Вектор ускорения точки равен первой производной от скоро% сти или второй производной от радиус%вектора точки по времени.

Определение модуля и направления ускорения точки по уравне%

ниям ее движения в декартовых координатах: x = f (t); y = f (t); z = f (t).

G 1 2 3

Радиус%вектор r движущейся точки M имеет вид:

тогда

46

Проекции ускорения точки на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным от соответствующих ко% ординат точки по времени или первым производным по времени от проекции скорости на соответствующие оси.

Естественные координатные оси. Проведем в точке M кривой AB со% прикасающуюся плоскость, нормальную плоскость, перпендикуляр% ную касательной, и спрямляющую плоскость, перпендикулярную со% прикасающейся и нормальной плоскостям, образующую с этими плоскостями естественный трехгранник. Естественные координатные оси — это три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направ% ленная в сторону возрастания дуговой координаты; главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой; бинормаль, направленная по отношению к касательной и главной нормали. Вектор средней кри% визны кривой на определенном участке равен

Определим проекции ускорения точки на естественные коор% динатные оси:

После преобразований получим:

Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нор% мальным ускорением, а другой направлен по касательной и назы% вается касательным ускорением точки. Проекция ускорения точки на главную нормаль равна квадрату модуля скорости точки, делен% ному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке:

an = v 2 R .

47

ЛЕКЦИЯ № 20. Классификация движений

точки по ускорениям ее движения

Проекция ускорения точки на главную нормаль:

Проекция ускорения точки на касательную:

aτ = d 2s dt 2 = dv dt ,

или

Определим зависимость характера движений точки от значе% ний ее нормального и касательного ускорений. Ниже представле% на следующая классификация.

Случай 1.

Если в течение некоторого промежутка времени нормальное и касательное ускорения точки равны нулю, то в течение этого промежутка не изменяются ни направление, ни модуль скорости.

Это означает, что точка движется равномерно прямолинейно и ее ускорение aG = 0.

Случай 2.

Если в течение некоторого промежутка времени нормальное ускорение не равно нулю и касательное ускорение равно нулю, то происходит изменение направления скорости без изменения ее

49

модуля. Это означает, что точка движется равномерно криволи% нейно и модуль ее ускорения

a = a n = v 2 R .

Если

aτ = dv dt = 0

в определенный момент времени, то точка не движется равномер% но, а в этот момент времени модуль ее скорости имеет максимум, минимум или наименьшую быстроту монотонного изменения.

Случай 3.

Если в течение некоторого промежутка времени нормальное ускорение точки равно нулю и касательное ускорение не равно нулю, то не изменяется направление скорости, а изменяется ее модуль, т. е. точка движется по прямой неравномерно. В этом случае модуль ускорения точки

в некоторый момент времени, то точка не движется прямолиней% но, а проходит точку перегиба траектории R = ∞ или модуль ее скорости обращается в нуль. Например, это может наблюдаться при изменении направления движения точки v = 0 .

Случай 4.

Если в течение некоторого промежутка времени ни нормаль% ное, ни касательное ускорение точки не равны нулю, то изме%

50