3.6 Устойчивость систем автоматического управления

Под устойчивостью систем управления понимают их способность возвращаться в равновесное состояние после снятия возмущающего воздействия.

Система называется устойчивой, если составляющая переходного процесса с течением времени стремиться к 0.

Устойчивость систем управления характеризует их работоспособность. Принято считать, что работоспособными являются устойчивые системы управления.

3.7 Основные виды переходных процессов в системах автоматического управления.

Рисунок 32

1(t) – единичное ступенчатое воздействие, которое подаётся на вход системы управления.

1 Сходящийся апериодический процесс соответствующий устойчивой системе управления.

2 Расходящийся апериодический процесс, соответствующий неустойчивой системе управления.

3 Сходящийся периодический процесс, соответствующий устойчивой системе управления.

4 Сходящийся периодический процесс, соответствующий неустойчивой системе управления.

Т.о. на графиках 1 и 3 значение функции от времени стремиться к 0, поэтому такие системы будут являться устойчивыми и работоспособными.

3.8 Определение устойчивости системы автоматического управления

3.8.1 Определение устойчивости по корням характеристического уравнения

Т.к. работа системы управления может быть представлена в виде однородного линейного выражения n-й степени переход характеристики можно рассматривать как частные решения данного уравнения. Решение дифференциального уравнения можно представить в виде

где - постоянная интегрирования

- корень характеристического уравнения

Присваивается отрицательные, положительные и нулевое значения. Рассмотрим поведение составляющей переходного процесса.

Рисунок 33

1 СУ - нейтральная

2 СУ - неустойчивая

3 СУ – устойчивая

Вывод:

Для устойчивых систем автоматического управления необходимо и достаточно чтобы все корни уравнения стали < 0

3.8.2 Критерий устойчивости

Это математические методы позволяющие определить устойчивость или работоспособность систем не находя корней уравнения.

Критерий Гурвица

Основан на составлении матрицы, главная диагональ которой записывается из коэффициентов характеристического уравнения начинается с

Заполнение матрицы производят диагонали вверх по возрасрастанию индексов коэффициентов и вниз по убыванию свободного места заполненного нулями.

Отчёркивая одинаковое число строк и столбцов выделяем дисп. определители Гурвица.

Для устойчивости систем управления необходимо и достаточно, чтобы коэффициент и все дисп. определители Гурвица были положительные.

Критерий Михайлова

Данный критерий используется если корни характеристического уравнения представлены в виде комплексной формулы.

Данный метод основан на изображении годографа векторов комплексно-частотними функциями.

Рисунок 34

Для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора комплексно-частотной функции начинался на положительной полуоси, обходил в положительном направлении nквадрантов и нигде не обращается в 0 при измененииот 0 до