Примеры решения задач

2.1. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса r=10 см с постоянным касательным ускорением a_τ=0,4 см/с². Найти:

1) момент времени t от начала вращения, при котором вектор полного ускорения образует с вектором скоростиуголβ=45⁰;

2) путь, пройденный материальной точкой за это время;

3) угол поворота материальной точки по окружности за это время.

Дано: Найти:

r=10 см; 1) t;

a_τ=0,4 см/с²; 2) s;

β =45⁰. 3) φ.

Решение:

1. По условию задачи материальная точка движется по окружности с постоянным касательным ускорением . Следовательно, мгновенную скорость движущейся точки приv₀=0 можно найти по формуле (1.25), откуда

.

Скорость v и нормальное ускорение a_n=v²/r непрерывно возрастают со временем, а вектор полного ускорения со временем изменяется как по модулю, так и по направлению. Так как векторыив данный момент времени всегда одинаково направлены, то уголβмежду векторами изависит от соотношения между нормальнымa_n и касательным a_τ ускорениями:

.

Тогда искомый момент времени найдем из соотношения:

.

2. В соответствии с формулой (1.22) путь, пройденный материальной точкой за это время

.

3. Угол поворота φ при вращательном движении линейно зависит от пройденного пути по формуле (2.9) и также изменяется со временем по квадратичному закону. Тогда угол поворота материальной точки в момент времени t=5c равен:

φ.

Ответ: 1. ; 2. ; 3.φ.

2.2. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где- постоянный вектор,- угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла.

Дано: Найти:

. .

Решение:

Выберем положительное направление оси z вдоль вектора . Согласно формуле (2.3),. Представивdt по формуле (2.2) как , можно преобразовать предыдущее уравнение к виду

. (1)

Проинтегрируем выражение (1) с учетом начального условия (,):

;

.

.

Ответ: .

2.3. Круглый конус с радиусом основания R и высотой h катится без скольжения по поверхности стола, как показано на рисунке 2.3. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О на уровне точки С – центра основания конуса. Точка С движется с постоянной скоростью v. Найти угловую скорость .

Дано: Найти:

R, .

h,

v.

Решение:

1. За промежуток времени dt цилиндр совершит поворот d вокруг оси ОC и одновременно поворот d вокруг оси ОО^/. Суммарный поворот . Поделив обе части этого равенства наdt, получим

, (1)

где и- угловые скорости вращения вокруг осейОО^/ и ОС соответственно. Модули векторов иможно найти, используя выражение (2.10): ,

тогда , . (2)

Рис.2.4 к примеру решения задач 2.3

Их отношение . Модуль вектораможно найти по теореме Пифагора, используя выражения (2):

.

Ответ: .