Задачи для самостоятельного решения

1.1. Точка прошла половину пути со скоростью v₀. На оставшейся части пути она половину времени двигалась со скоростью v₁, а последний участок прошла со скоростью v₂. Найти среднюю за все время движения скорость точки.

[Ответ: v_ср=2v₀(v₁+v₂)/(2v₀+v₁+v₂).]

1.2. Точка движется вдоль оси Х со скоростью, проекция которой v_x как функция времени описывается графиком на рис. 1.12. В момент t=0 координата точки x=0. Изобразить примерные графики зависимостей ускорения а_х, координаты х и пройденного пути s от времени.

v_x

1

0

-1

-2

1.3. Точка движется в плоскости xy по закону: x = bt, y = bt(1-nt), где b и n положительные постоянные, t – время. Найти:

1. уравнение траектории точки у(х); изобразить ее график;

2. скорость и ускорение точки в зависимости от времени;

3. момент t₀, в который вектор скорости составляет угол с вектором ускорения.

[Ответы: 1) y=x-x²n/b; 2) ; 3) t₀=1/n.]

1.4. Радиус-вектор, характеризующий положение частицы А относительно неподвижной точки О, меняется со временем по закону , гдеи- постоянные векторы, причем;- положительная постоянная. Найти ускорениечастицы и уравнение ее траекторииу(х), взяв оси х и у совпадающими по направлению с векторами исоответственно и имеющими начало в точкеО.

[Ответы: ; .]

1.5. В момент t=0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси Х. Ее скорость меняется со временем t как , где-начальная скорость, ее модульv₀=10 cм/с, τ=5 с. Найти:

1) координату х частицы, когда t=6, 10 и 20 с;

2) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат.

[Ответы: 1) 0,24; 0 и -2 м; 2) 1,1; 9 и 11 с.]

1.6. Два шарика бросили одновременно из одной точки в горизонтальном направлении в противоположные стороны со скоростями =3 м/c и =4 м/c. Найти расстояние между шариками в момент, когда их скорости окажутся взаимно перпендикулярными.

[Ответ: м.]

1.7. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью =250 м/c: первый – под углом =60⁰ к горизонту, второй – под углом =45⁰ (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

[Ответ: ]

1.8. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью Определить скоростьтангенциальноеи нормальноеускорения камня в конце второй секунды после начала движения.

[Ответы: v=35,8 м/c; a_=5,37м/c²; a_n=8,22м/c².]

1.9. Тело брошено под углом к горизонту. Найти тангенциальноеи нормальноеускорения в начальный момент движения.

[Ответы: a_=4,9 м/c²; a_n=8,55м/c².]

1.10. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъема постоянна и равна . Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скоростиby, где b- постоянная, y- высота подъема. Найти зависимость от высоты подъема:

1) величины сноса шара х(у);

2) полного, тангенциального и нормального ускорения шара. [Ответы: 1) x=(b/ 2v₀)y²; 2) a=bv₀, .]

1.11. Частица движется в плоскости ху со скоростью =c+bx где и - орты осей X и Y, c и b – положительные постоянные. В начальный момент частица находилась в начале координат. Найти:

1. уравнение траектории частицы у(х);

2. радиус кривизны траектории как функцию х.

[Ответы:.]

1.12. Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом. Пролетев расстояниеh, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразился второй раз?

[Ответ: l=8hsin]

1.13. Корабль движется по экватору на восток со скоростью v₀=30 км/ч. С юго-востока под углом φ=60⁰ к экватору дует ветер со скоростью v=15 км/ч. Найти скорость v^/ ветра относительно корабля и угол φ^/ между экватором и направлением ветра в системе отсчета, связанной с кораблем.

[Ответы: =40 км/ч, φ^/=19⁰.]

1.14. Лодка движется относительно воды со скоростью, в n = 2 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?

[Ответ: ]

1.15. От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки, А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А – вдоль реки, а лодка В – поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок τ_А/τ_В, если скорость каждой лодки относительно воды в n=1,2 раза больше скорости течения.

[Ответ: τ_А/τ_В=n/.]