Краткая теория

П

A (x,y,z)

оложение материальной точки в пространстве (например, точки А(x,y,z)) задается радиус – вектором , проведенным из начала координат в данную точку (рисунок 1.4).

Рис.1.4. Наглядное изображение радиус – вектора материальной точки А (x,y,z).

Проекции радиус – вектора на координатные оси равны декартовым координатам данной точки

, (1.9)

где - единичные векторы направлений (орты).

Средняя путевая скорость:

, (1.10)

где - путь, пройденный точкой за интервал времени(рис.1.5).

Средняя скорость и среднее ускорение материальной точки:

, (1.11)

, (1.12)

где - перемещение материальной точки за интервал времени(рис.1.5).

Мгновенная скорость материальной точки. Зафиксировав некоторый момент времени , рассмотрим приращение радиус – вектораза малый промежуток времени, следующий за(рис. 1.5).

Отношение дает среднее значение скорости за время. Если брать все меньшие промежутки, отношениев пределе даетзначение скорости в момент времени :

(1.13)

Так как скорость векторная величина, то ее можно разложить на проекции:

(1.14)

где - проекции скоростина оси координат.

Модуль вектора скорости

. (1.15)

Мгновенное ускорение материальной точки

(1.16)

где - проекции ускоренияна оси координат.

Модуль вектора ускорения

(1.17)

При криволинейном движении материальной точки удобно связать ее положение с центром скользящей системы координат – точкой С (рис.1.6) (τ и n – оси скользящей системы координат), тогда ускорение можно представить как сумму нормальнойи тангенциальнойсоставляющих:

. (1.18)

Модули нормального, тангенциального и полного ускорения материальной точки:

(1.19)

(1.20)

, (1.21)

где R- радиус кривизны в данной точке траектории.

Путь, пройденный материальной точкой с момента времени t₁ до момента t₂:

, (1.22)

где v- модуль вектора скорости точки.

УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВИДОВ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ

Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки

, (1.23)

где ирадиус - векторы материальной точки в начальный и конечный моменты времени соответственно, - промежуток времени, соответствующий данному перемещению .

В координатной форме кинематическое уравнение прямолинейного равномерного движения примет вид:

r_x=r_ox+v_xt или +v_xt.

При равномерном прямолинейном движении .

Кинематическое уравнение равнопеременного движения материальной точки

, (1.24)

где - начальная скорость. При равнопеременном прямолинейном движении ускорение остается постоянным:.

В координатной форме уравнение равнопеременного прямолинейного движения материальной точки примет вид:

r_x=r_ox+v_0хt+a_xt²/2 или x=x₀+v_0хt+a_xt²/2 .

Скорость материальной точки при равнопеременном движении

. (1.25)

С учетом уравнения (1.25) перемещение при равнопеременном движении может быть найдено по следующими формулам:

, (1.26)

. (1.27)