СОДЕРЖАНИЕ

1. КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Элементы векторной алгебры………………………………………….2 Краткая теория…………………………………………………………..4 Вопросы для самоподготовки…………………………………………..8 Примеры решения задач………………………………………………...8 Задачи для самостоятельного решения……………………………….15 2. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Краткая теория………………………………………………………….18 Вопросы для самоподготовки…………………………………………21 Примеры решения задач……………………………………………….21 Задачи для самостоятельного решения……………………………….24

1. Кинематика поступательного движения материальной точки и твердого тела Элементы векторной алгебры

Вектор – направленный отрезок или упорядоченная пара точек (например, или). Про эти точки известно, какая из них первая (начало), а какая вторая (конец). Расстояние между началом и концом вектора называют егодлиной (а также модулем и абсолютной величиной). Длина вектора обозначается, вектораобозначаетсяAB и находится по следующим формулам:

, (1.1)

где - проекции векторана оси декартовой системы координатx,y,z.

, (1.2)

где - координаты точкиА, - координаты точкиВ.

Сложение векторов (правило треугольника). Пусть даны два вектора и. Для сложения этих векторов перенесем параллельным переносом эти вектора в произвольную точку так, чтобы конец вектораи начало векторасовпадали (рис.1.1). Тогда вектор, соединяющий начало вектораи конец вектора, называетсясуммой векторов и (=).

Вычитание векторов. При вычитании векторов и , необходимо перенести эти вектора параллельным переносом в произвольную точку, совмещая их начала (рис.1.2). Тогда вектор , соединяющий концы векторови, и направленный к вектору , из которого вычитали, называется разностью векторов и (=).

Рис.1.2. Вычитание векторов.

Произведением вектора на вещественное число называется вектор = модуль которого в раз больше, чем модуль вектораНаправление же векторалибо совпадает с направлением вектора(если), либо противоположно направлению вектора(если ).

Два вектора иможно умножить друг на друга двумя способами; один способ приводит к скалярной величине, другой дает в результате некоторый новый вектор. В соответствии с этим существует два произведения векторов - скалярное и векторное.

Скалярным произведением двух векторов и называется числос, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

, (1.3)

где - угол между векторамии. Скалярное произведение векторовиобозначается () или.

Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, удовлетворяющий условиям:

1), (1.4)

где - угол между векторамии,sin , так как 0;

2) вектор перпендикулярен плоскости, где лежат вектораи;

3)направление выбирается так, чтобы последовательность векторовобразовывала правовинтовую систему. Это означает, что, если смотреть вслед вектору, то совершаемый по кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке. (На рисунке 1.3 векторнаправлен за чертеж и поэтому изображен кружком с крестиком). Векторное произведение векторови обозначается или

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам

, (1.5)

где - единичный вектор оси ОХ,- оси ОY, - осиOZ; с_x, c_y, c_z – компоненты (или координаты) вектора .

При умножении вектора на вещественное число все его компоненты умножаются на это число:

(1.6)

При сложении векторов складываются их соответствующие компоненты. Если и, то

, где (1.7)

, , .

Скалярное произведение векторов , представленных в виде (1.5), можно выразить через проекции перемножаемых векторов:

(1.8)