Квантор общности |
|
Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату P(x), определённому на множестве M сопоставляется высказывание
(читается: «для любого x выполняется P(x)»; «всякий x, такой что P(x)»), которое истинно в том и только том случае, когда P(x)
– тождественно-истинный предикат. При этом переменная x
называется связанной квантором общности.
Пример.
P(x): 1≤x, N - тождественно-истинный предикат; Q(x): x делит 30, N - опровержимый предикат.
xP(x): «Всякое натуральное число 1» - ИСТИНА;
xQ(x) : «Всякое натуральное число делит 30» - ЛОЖЬ.
Квантор существования |
|
Операцией связывания квантором существования
называется правило, по которому каждому одноместному предикату P(x), определённому на множестве M
сопоставляется высказывание (читается: «существует x, такой что P(x)»), которое ложно в том и только том случае, когда P(x)
– тождественно-ложный предикат. При этом переменная x
называется связанной квантором существования.
Пример.
P(x): x=x+1, N - тождественно-ложный предикат; Q(x): x делит 30, N- опровержимый предикат.
xP(x) : «Существует такое натуральное число, которое в сумме с единицей даёт себя» - ЛОЖЬ;
xQ(x) : «Существует такое натуральное число, которое делит 30» - ИСТИНА.
Алфавит логики высказываний
x, y, z, xi, yi, zi (iЄR) - предметные переменные, т.е переменные допустимые значения которых являются объекты предметной области;
P, Q, R – нульместные предикатные переменные;
P(…) – n-местная предикатная переменная;
&, , , , ~,– логические связки;
, - символы кванторов;
( – левая скобка;
) – правая скобка;
, - запятая
Формулы логики предикатов
1.Каждая нульместная предикатная переменная – есть формула
2.Если P(…) - n-местная предикатная переменная, а x1, x2,… xn – предметные переменные, не обязательно различные, то P(x1, x2,…xn) формула. Такая формула называется атомарной. В атомарных формулах все предметные переменные свободны, связанных нет.
3.Если Ф – формула, то ¬Ф тоже формула , причем, если переменная x – свободна (связанна) в Ф, то она свободна (связанна) и в Ф.
4.Если Ф1 и Ф2 – формулы, то Ф1&Ф2, Ф1 Ф2, Ф1~Ф2, Ф2 כ Ф1, Ф1~Ф2 являются формулами.
5.Если Ф – формула, x – предметная переменная, входящая в эту формулу свободно, то x и x являются
формулами, в которых переменная x является связанной.
6.Никакие другие объекты не являются формулами исчисления предикатов, кроме тех, которые ими являются согласно пунктам 1-5 данного определения.
Классификация суждений
Общеутвердительные суждения:
Читается: «все… являются…».
Частноутвердительные суждения:
Читается: «некоторые… являются…»
Общеотрицательные суждения:
Читается: «все… не являются…» или «никакой … не является…»
xP(x)
xP(x)
x7P(x)
|
Частноотрицательные суждения: |
x7P(x) |
|
Читается: «некоторые … не являются…» |
|
Классификация формул логики предикатов
Выполнимые формулы логики предикатов.
Формула логики предикатов называется выполнимой на множестве М, если при некоторой подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в выполнимый предикат.
Опровержимые формулы логики предикатов.
Формула логики предикатов называется опровержимой на множестве М, если при некоторой подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в опровержимый предикат.
Классификация формул логики предикатов
Тождественно-истинные формулы логики предикатов:
Формула логики предикатов называется тождественно истинной на множестве M, если при всякой подстановке
вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в тождественно-истинный предикат.
Формула логики предикатов называется тождественно истинной, общезначимой или тавтологией, если при
всякой подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на каких угодно множествах, она превращается в тождественно-истинный предикат.
Классификация формул логики предикатов
Тождественно-ложные формулы логики предикатов.
Формула логики предикатов называется тождественно- ложной на множестве M, если при всякой подстановке
вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на этом множестве, она превращается в тождественно-ложный предикат.
Формула логики предикатов называется тождественно- ложной или противоречивой, если при всякой
подстановке вместо предикатных переменных любых конкретных предикатов, заданных на каких угодно множествах, она превращается в тождественно-ложный предикат.
Тавтологии логики предикатов
Теорема.
Всякая формула, получающаяся из тавтологии логики высказываний заменой входящих в неё пропозициональных переменных произвольными предикатными переменными, является тавтологией логики предикатов.
Пример: P(x) Q(x) ~ P(x) & Q(x)
Тавтологии логики предикатов
Законы де Моргана для кванторов:
7 xP(x) ~ x7P(x)
7 xP(x) ~ x7P(x)
Законы выражения кванторов друг через друга
(являются следствием законов де Моргана и закона снятия двойного отрицания):
xP(x) ~ 7 x7P(x)
xP(x) ~ 7 x7P(x)