Логика предикатов
Модуль 2. Суждения
Определение предиката
n-местным предикатом, определенным на множествах М1,М2,…,Мn, называется предложение, содержащее переменные x1,x2,…,xn, превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств М1,М2,…,Мn.
Обозначение: P(x1,x2,…,xn).
Примеры:
P(x): «Река x впадает в озеро Байкал». Пусть x – Селенга, тогда:
«Река Селенга впадает в озеро Байкал» - ИСТИНА; Пусть x – Миасс, тогда
«Река Миасс впадает в озеро Байкал»- ЛОЖЬ.
P(x,y): x2 y2 |
9, |
R |
Пусть x=1, y=2, тогда |
? |
|
Пусть x=5, y=2, тогда |
?. |
|
Классификация предикатов
Тождественно-истинные предикаты – предикаты, которые при любых подстановках вместо переменных конкретных элементов из соответствующих множеств превращаются в истинные высказывания.
Тождественно-ложные предикаты - предикаты, которые при любых подстановках вместо переменных конкретных элементов из соответствующих множеств превращаются в ложные высказывания.
Выполнимые предикаты – такие предикаты, для которых существует, по меньшей мере, один набор конкретных элементов из соответствующих множеств, при подстановке которого вместо соответствующих переменных в предикат, он превращается в истинное высказывание.
Опровержимые предикаты – такие предикаты, для которых существует, по меньшей мере, один набор конкретных элементов из соответствующих множеств, при подстановке которого вместо соответствующих переменных в предикат, он превращается в ложное высказывание.
Множество истинности предиката
Множеством истинности предиката P(x1,x2,…,xn), заданного на множествах М1,М2,…,Мn, называется совокупность всех упорядоченных n-систем (кортежей) a1,a2, …,an , в которых элемент a1 берётся из множества M1, элемент a2 берётся из множества M2,…, элемент an берётся из множества Mn, таких, что данный предикат превращается в истинное высказывание.
Обозначение: P+
Пример: |
3 |
|
y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||
P(x,y): x2+y2 ≤9, |
R |
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
||
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
||
P+={(x,y)/ x2+y2 ≤9}, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Логические операции над предикатами
Над предикатами можно выполнять те же логические операции, которые выполняются над высказываниями: ¬, &, ۷, כ, ~
Отрицание
Отрицанием n-местного предиката P(x1,x2,…,xn), определённого на множествах М1,М2,…,Мn, называется
новый предикат, определённый на тех же множествах, обозначаемый P(x1,x2,…,xn), который превращается в
истинное высказывание при всех тех значениях переменных, при которых исходный предикат превращается в ложное высказывание.
Пример: |
P(x): x≤5 |
|
¬ P(x): x>5 |
Конъюнкция предикатов
Конъюнкцией двух предикатов P(x1,x2,…,xn), определённого на множествах М1,М2,…,Мn и Q(y1,y2,…,ym), определённого на множествах N1,N2,…,Nm называется новый (n+m)-местный предикат, определённый на множествах М1,М2,…,Мn,,N1,N2, …,Nm, обозначаемый P(x1,x2,…,xn)&Q(y1,y2,…,ym), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях переменных, при которых оба исходных предиката превращаются в истинные высказывания.
Пример. |
x 1 |
|
y |
|
|
|
(P(x)&Q(y))+ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
P(x): |
, R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Q(y): |
y 0 |
, R |
0 |
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|||||||
P(x)&Q(y): |
x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Дизъюнкция предикатов
Дизъюнкцией двух предикатов P(x1,x2,…,xn),
определённого на множествах М1,М2,…,Мn и Q(y1,y2,…,ym), определённого на множествах N1,N2,…,Nm называется новый
(n+m)-местный предикат, определённый на множествах М1,М2, …,Мn,,N1,N2,…,Nm, обозначаемый P(x1,x2,…,xn) Q(y1,y2,…,ym),
который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях переменных, при которых хотя бы один исходный предикат превращается в истинное высказывание.
y
Пример. |
x 1 |
|
|
|
|
(P(x)۷(y))+ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
P(x): |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
Q(y): |
y 0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
P(x)۷Q(y): |
x 1, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
|
Импликация предикатов
Импликацией двух предикатов P(x1,x2,…,xn),
определённого на множествах М1,М2,…,Мn и Q(y1,y2, …,ym), определённого на множествах N1,N2,…,Nm
называется новый (n+m)-местный предикат, определённый на множествах М1,М2,…,Мn,,N1,N2,…,Nm, обозначаемый P(x1,x2,…,xn) כ Q(y1,y2,…,ym) такой, что
для любых элементов a1 из множества M1, a2 из множества M2,…, an из множества Mn, b1 из множества N1, b2 из множества N2,…, bm из множества Nm, высказывание P(a1,a2,…,an) כ Q(b1,b2,…,bm) является импликацией высказываний P(a1,a2,…,an) и Q(b1,b2, …,bm).
Эквиваленция предикатов
Эквиваленцией двух предикатов P(x1,x2,…,xn),
определённого на множествах М1,М2,…,Мn и Q(y1,y2, …,ym), определённого на множествах N1,N2,…,Nm
называется новый (n+m)-местный предикат, определённый на множествах М1,М2,…,Мn,,N1,N2,
…,Nm, обозначаемый P(x1,x2,…,xn)~Q(y1,y2,…,ym)
такой, что для любых элементов a1 из множества M1, a2 из множества M2,…, an из множества Mn, b1 из множества N1, b2 из множества N2,…, bm из множества Nm, высказывание P(a1,a2,…,an) כ Q(b1,b2, …,bm) является эквиваленцией высказываний P(a1,a2,…,an) и Q(b1,b2,…,bm).
Импликация предикатов
Импликацией двух предикатов P(x1,x2,…,xn),
определённого на множествах М1,М2,…,Мn и Q(y1,y2, …,ym), определённого на множествах N1,N2,…,Nm
называется новый (n+m)-местный предикат, определённый на множествах М1,М2,…,Мn,,N1,N2,…,Nm, обозначаемый P(x1,x2,…,xn) כ Q(y1,y2,…,ym) такой, что
для любых элементов a1 из множества M1, a2 из множества M2,…, an из множества Mn, b1 из множества N1, b2 из множества N2,…, bm из множества Nm, высказывание P(a1,a2,…,an) כ Q(b1,b2,…,bm) является импликацией высказываний P(a1,a2,…,an) и Q(b1,b2, …,bm).