Логика высказываний
Модуль 2. Суждения
Суждение как форма мысли
Суждение – форма мышления, в которой отражаются связи между предметами и их свойства.
Примеры:
1.Сегодня солнечно
2.Я иду по улице
3.Все киты – млекопитающие
4.X>2
Высказывания
Под высказыванием понимают такое предложение (повествование), о котором можно
сказать одно из двух: оно истинно или оно ложно, т.е. можно определить его значение истинности.
Высказываниями не являются:
•Вопросительные предложения;
•Восклицательные предложения;
•Предложения, содержащие переменные.
Обозначения:
p, q, r – высказывания и, t, 1 – ИСТИНА
л, f, 0 – ЛОЖЬ
Логические операции над высказываниями
p – «Сегодня солнечно» q – «Я остался дома»
p и q – элементарные высказывания
Из элементарных высказываний можно получать составные высказывания:
«Сегодня солнечно, но я остался дома» «Я не остался дома»
«Если сегодня солнечно, то я не останусь дома» и т.д.
Каждому союзу, осуществляющему связь высказываний соответствует одна из пяти логических операций:
отрицание; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквиваленция.
Отрицание
Логическим отрицанием высказывания p называется новое высказывание, обозначаемое 
p (читается: не p; неверно, что p), которое истинно, если исходное высказывание p – ложно, и ложно, если исходное высказывание p истинно.
Таблица истинности:
Пример:
p – «Петя купил мороженое»;
p – «Неверно, что Петя купил мороженое» или «Петя не купил мороженое»
Конъюнкция
Конъюнкцией двух высказываний p и q называется новое высказывание, обозначаемое p&q (читается: «p и q»; «И p, и q») которое истинно в единственном случае, когда истинны оба высказывания p и q и ложно во всех остальных случаях.
Таблица истинности:
Пример:
p – «Сегодня солнечно»;q – «Я остался дома».
p&q «Сегодня солнечно и я остался дома» или «Сегодня солнечно, а (но, да) я остался дома»
Дизъюнкция
Дизъюнкцией двух высказываний p и q называется новое
высказывание, обозначаемое p۷q (читается: «p или q»; «либо p, либо q»), которое истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из высказываний p или q истинно и ложно в единственном случае, когда и p, и q ложны.
Таблица истинности:
Пример:
p – «Сегодня солнечно»;q – «Я остался дома».
p۷q «Сегодня солнечно или я остался дома» или «Либо сегодня солнечно, либо я остался дома»
Импликация
Импликацией двух высказываний p и q называется новое высказывание, обозначаемое pכq (читается: «Если p, то q», «Из p следует q», «p влечёт q»), которое ложно в единственном случае, когда p –истинно, а q – ложно, а в остальных случаях – истинно .
Таблица истинности:
Пример:
p – «Сегодня солнечно»;q – «Я остался дома».
pכq «Если сегодня будет солнечно, то я останусь дома»
Эквиваленция
Эквиваленцией двух высказываний p и q называют новое высказывание, обозначаемое p~q (читается: «p эквивалентно q», «p тогда и только тогда, когда q»), которое истинно в том и только в том случае, когда одновременно оба высказывания p и q либо истинны, либо ложны.
Таблица истинности:
Пример:
p – «Сегодня солнечно»;q – «Я остался дома».
p~q «Я останусь сегодня дома в том и только том случае, если будет солнечно» или «Если сегодня солнечно, то я останусь дома и если я остался дома, то сегодня солнечно»
Пропозициональные переменные и пропозициональные формулы
Пропозициональные переменные (p, q, r) интерпретируются как высказывания естественных или искусственных языков
Алфавит логики высказываний:
p, q, r – пропозициональные переменные;
l – вспомогательный символ, служащий для образования новых пропозициональных переменных, кроме p, q и r;
¬, &, ۷, כ, ~ – логические связки;
( и ) – левая и правая скобка;
Пропозициональная формула (формула логики высказываний) интерпретируется, как схема, составленная
из символов алфавита логики высказываний, которая становится высказыванием естественного или искусственного языка, когда на места пропозициональных переменных поставлены высказывания этого языка, а логические связки прочитаны, как соответствующие союзы.