Алгебра логики

II.АЛГЕБРА ЛОГИКИ

1.Понятие алгебры

Функция типа ϕ: M n → M называется n -арной операцией на множестве M ; n называется

Множество M ′ M называется замкнутым относительно операции ϕ на M , если значения ϕ

на аргументах из M ′ принадлежат M ′. Если M ′ замкнуто относительно всех операций ϕ1,…, ϕm ,… алгебры A , то алгебра A′ =(M ′;ϕ1,…,ϕm ,…) называется подалгеброй A .

Пример 1

1. Алгебра (D; +, ) называется полем действительных чисел. Тип − (2, 2). Все конечные

подмножества, кроме {0}, не замкнуты относительно обеих операций. Подалгеброй этой алгебры является поле рациональных чисел.

2. Логические функции

Мы будем рассматривать множество B ={0,1}, в котором элементы 0 и 1 есть не числа в обычном

смысле, а несут следующую логическую интерпретацию: 0 − ложь, 1− истина.

Алгебра, образованная множеством B вместе со всеми возможными операциями на нем,

называется алгеброй логики.

Функцией алгебры логики или логической функцией от n переменных называется n -арная операция на B . Итак, логическая функция f (x1,…, xn ) − это функция, принимающая значения 0 или 1, аргументы которой тоже принимают значения 0 или 1. Множество всех логических функций обозначается P2 , множество всех логических функций n переменных − P2 (n) . Всякая логическая

функция n переменных может быть задана таблицей, в левой части которой перечислены все 2n упорядоченных наборов значений переменных из n элементов 0 или 1. В правой части таблицы располагаются значения функции на этих наборах. Такие таблицы называются таблицами

Ниже дан пример табличного задания логической функции трех переменных.

Логическая функция n переменных полностью определяется вектор-столбцом своих значений, размерность которого равна числу наборов значений функции, т. е. 2n . Отсюда число различных

15

следовательно, равно 22n .

Переменная xi в функции f (x1,…, xi−1, xi , xi+1,…, xn ) называется фиктивной, если при любых значениях остальных переменных выполняется равенство

f(x1,…, xi−1,0, xi+1,…, xn ) = f (x1,…, xi−1,1, xi+1,…, xn ) .

Вэтом случае функция f (x1,…, xn ) , по существу, зависит от (n −1) переменной, т. е. представляет

собой функцию g(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn ) . Говорят, что g получена из f удалением фиктивной переменной, а f получается из g введением фиктивной переменной. Переменные функции f , которые не являются фиктивными, называются существенными.

2.1. Логические функции одной и двух переменных

Число логических функций одной переменной равно 4. Все эти функции приведены в следующей таблице:

Рассмотрим логические функции двух переменных. Всего существует 16 различных логических функций двух переменных. Все эти функции даны в следующей таблице:

В данной таблице функции ψ0 и ψ15 есть константы 0 и 1 соответственно, т.е. имеют по две фиктивные переменные.

Функция ψ1 называется конъюнкцией x1 и x2 . Для функции ψ1 используют обозначения: x1 & x2 , x1 x2 , x1 x2 . Иногда знак операции опускают и пишут x1x2 . Функция ψ1 равна 1, только если x1 и x2 равны 1. Поэтому конъюнкцию часто называют функцией и. Еще одно название − «логическое умножение», так как ее таблица совпадает с таблицей обычного умножения для чисел 0 и 1.

Функция ψ6 называется сложением по модулю 2. Ее обозначения: x1 x2 , x1 x2 , x1 ≠ x2 . Она равна 1, когда значения ее аргументов различны, и равна 0, когда они равны. Иногда ψ6 называют

неравнозначностью.

x2 ». Ее значения на соответствующих наборах противоположны значениям дизъюнкции, поэтому ее еще называют антидизъюнкцией или «не − или».

16

Таким образом, из 16 логических функций двух переменных шесть функций имеют фиктивные переменные. С ростом n доля функций, имеющих фиктивные переменные, убывает и стремится к нулю.

Пусть задано множество функций типа: f1 : Am1 → A,…, fn : Amn → A . Тогда возможны любые

подстановки этих функций друг в друга, а также любые переименования аргументов. Например, переименование x3 в x2 порождает из функции четырех аргументов f (x1, x2 , x3, x4 ) функцию трех

аргументов g (x1, x2 , x4 )≡ f (x1, x2 , x3, x4 ). Функция, полученная из f1,…, fn некоторой подстановкой

их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией f1,…, fn . Выражение,

описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов, называется формулой. Формулы, как правило, состоят из других формул (подформул) и поэтому имеют древовидную структуру. При этом важно такое понятие, как глубина формулы.

Пусть дано множество логических функций Σ ={f1,…, fm ,…}. Символы переменных x1,…, xn ,…

называется внешней или главной операцией формулы F .

Пример 1

1.f (x1, x2 )− формула глубины 1.

2.f2 (f1 (x1, x2 ), x3 ) − формула глубины 2, содержащая подформулу глубины 1. Если, например,

f1 − дизъюнкция, f2 − конъюнкция, то данная формула имеет вид (x1 x2 )& x3 .

Всякая формула, выражающая функцию f как суперпозицию других функций, задает способ ее

вычисления. Этот способ определяется следующим очевидным правилом: формулу можно вычислить, только если можно вычислить все ее подформулы.

Для заданного набора значений аргументов можно вычислить значения всех подформул и получить значение функции. Таким образом, формула каждому набору значений аргументов ставит в соответствие значение функции и, следовательно, может наряду с таблицей служить способом задания

и вычисления функции. В частности, по формуле, вычисляя ее на всех 2n наборах, можно восстановить таблицу функции. О формуле, задающей функцию, говорят, что она реализует или

эквивалентными или равносильными. Эквивалентность формул обозначается знаком равенства. Например, x1 x2 = =(x1 x2 )& (x1 x2 ). Эквивалентность формул можно установить путем построения таблиц по каждой формуле и последующего их сравнения.

2.3. Двойственность логических функций

Функция f1 (x1,…, x2 ) называется двойственной к f2 (x1,…, x2 ), если f1 (x1,…, x2 )= f2 (x1,…, xn ). Беря отрицание над обеими частями равенства и подставляя x1,…, xn вместо x1,…, x2 , получим

f1 (x1,…, x2 )= f2 (x1,…, xn )= f2 (x1,…, x2 ),

17

т. е. функция f2 (x1,…, x2 ) является двойственной к f1 (x1,…, x2 ). Таким образом, отношение двойственности логических функций является симметричным. Двойственная функция к f (x1,…, x2 )

двойственной к ней, то такая функция называется самодвойственной.

Пример 1

1.Двойственные функции: 1* = 0 , (x1 x2 )* = x1 & x2 , (x1 x2 )* = x1 x2 , (x1 | x2 )* = x1 ↓ x2 .

2.Самодвойственные функции: x , x , x1x2 x1x3 x2 x3 .

Справедлив следующий принцип двойственности. Если в формуле F , представляющей функцию f , все знаки функций заменить на двойственные им, то полученная формула F* будет представлять

(x y)* = x & y , (x y)* = x y , (x → y)* = x y , то получаем f * = (x & y) (x y) = (x | y) (x y) .

3.Булева алгебра логических функций

иэквивалентные преобразования в ней

3.1.Разложение функций по переменным

Обозначим xt следующую функцию x t x t . Тогда легко проверить, что выполняются равенства

Существует другое разложение по переменным, в котором в отличие от (3.1) дизъюнкции меняются на конъюнкции, а конъюнкции − на дизъюнкции.

Теорема 2

Всякая логическая функция f (x1,…, xn ) может быть представлена в следующем виде:

18

В равенствах (3.3) и (3.6) произвольная логическая функция представлена в виде формулы, содержащей знаки функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

3.2. Булева алгебра функций

Формулы, содержащие кроме переменных только знаки функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания называются булевыми формулами.

Теорема 3

Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т. е. как суперпозиция конъюнкции, дизъюнкции и от-рицания.

Доказательство

Для всякой функции, кроме константы 0, таким представлением может служить ее разложение по все переменным. Константу 0 можно представить формулой xx .

эквивалентна формуле F1 F2 . При этом обе эти формулы представляют одну и ту же логическую функцию, которую мы обозначим f1 f2. Таким образом, дизъюнкцию можно рассматривать как бинарную операцию на множестве логических функций, которая каждой паре логических функций f1 и f2 независимо от формул, которыми они представлены, однозначно ставит в соответствие функцию

f1 f2.

Аналогично можно рассматривать конъюнкцию и отрицание как операции над логическими функциями.

_

Если рассматривать множество логических функций Р2 и три операции (P2 ; ,&, ) , то алгебра

_

(P2 ; ,&, ) называется булевой алгеброй логических функций.

_

Операции булевой алгебры (P2 ; ,&, ) называют булевыми операциями.

9. Закон «исключенного третьего»: x x =1.

Все эти равенства остаются справедливыми при подстановке вместо переменных любых логических функций и, следовательно, любых формул, представляющих эти функции. При этом необходимо соблюдать следующее правило подстановки формулы вместо переменной: при подстановке формулы F вместо переменной x все вхождения переменной x в исходной равенство должны быть одновременно заменены формулой F.

Это правило подстановки позволяет получить из приведенных соотношений новые эквивалентные соотношения.

Если какая-либо формула F содержит F1 в качестве подформулы, то замена F1 на эквивалентную

формулу даст F′ эквивалентную F.

В этом заключается правило замены подформул, которое позволяет, используя эквивалентные соотношения, получать формулы, эквивалентные данной.

Преобразования формул, использующие эквивалентные соотношения и правило замены,

называются эквивалентными преобразованиями.

Эквивалентные преобразования являются мощным средством доказательства эквивалентности формул.

Рассмотрим некоторые основные эквивалентные преобразования в булевой алгебре. Отметим, что в булевой алгебре принято опускать скобки в следующих двух случаях:

(x1(x2 x3 )) (x4 x5 ) пишут x1(x2 x3 ) x4 x5.

Оба соглашения совершенно аналогичны общепринятому опусканию скобок для умножения в арифметических формулах.

Рассмотрим некоторые эквивалентности, позволяющие делать упрощения в формулах в процессе эквивалентных преобразований:

а) Поглощение:

сводится к первому, если применить дистрибутивный закон в левой части.

б) Склеивание: xy x y = x.

Доказательство: xy x y = x(y y )= x &1 = x .

в) Обобщенное склеивание: xz yz xy = xz yz .

Доказательство:

xz yz xy = xz yz xyz xyz = xz(1 y) yz (1 x) = xz yz .

г) x xy = x y .

Доказательство: x xy = (x x) & (x y) =1& (x y) = x y .

д) x1 f (x1, x2 ,...xn ) = x1 f (0, x2 ,...xn ) .

Равенство д) проверяется подстановкой двух возможных значений переменной x1 : 0 или 1.

4. Нормальные формы

Разложение логической функции f (x1,..., xn ) по всем переменным в виде

20

1)с помощью таблиц истинности;

2)с помощью эквивалентных преобразований; сначала строят ДНФ, а затем СДНФ.

При использовании эквивалентных преобразований для приведения к ДНФ выполняется следующая последовательность действий:

1)с помощью эквивалентных преобразований все подформулы выражаются в виде суперпозиции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания;

2)все отрицания «спускают до переменных» с помощью двойного отрицания x = x и законов де Моргана;

3)раскрывают скобки с использованием закона дистрибутивности: x (y z)= xy xz ;

Для перехода от ДНФ к СДНФ используется правило «расщепления»: Kx Kx = K .

Если из формулы F1 с помощью некоторых эквивалентных соотношений можно получить формулу F2 , то F1 можно получить из F2 , использую те же эквивалентные соотношения. То есть всякое

эквивалентное преобразование обратимо. Используя это замечание, можно доказать следующую теорему.

Теорема 4

Для любых двух эквивалентных формул F1 и F2 существует эквивалентное преобразование F1 в

F2 .

Доказательство

Преобразуем F1 и F2 в СДНФ. Поскольку F1 и F2 эквивалентны, то их СДНФ совпадают. Обратив преобразование от СДНФ к F2 , получим эквивалентное преобразование от F1 кF2 :

F1 СДНФ F2 .

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более одного раза.

Примеры элементарных дизъюнкций: x1 , x3 , x3 x4 , x1 x2 x3 .

Конъюктивной нормальной формой (КНФ) называется формула, имеющая вид конъюнкции элементарных дизъюнкций.

Примеры КНФ: (x1 x2 ) & (x1 x2 x3 ) , x2 & (x1 x2 x4 ) . Основные отличия СКНФ от КНФ:

а) если в СКНФ в каждой дизъюнкции присутствуют все переменные функции с отрицанием или без отрицания, то в дизъюнкциях, входящих в КНФ, могут отсутствовать некоторые переменные;

б) для каждой логической функции существует только одна СКНФ, в то время как КНФ может быть не единственной для одной и той же логической функции.

Пример 4

Следующие две КНФ эквивалентны: x2 (x1 x2 x3 )= = x2 (x1 x3 ). Им соответствует СКНФ

(x1 x2 x3 ) (x1 x2 x3 ) (x1 x2 x3 ) (x1 x2 x3 ) (x1 x2 x3 ).Для одной логической функции переход от КНФ к ДНФ можно осуществить с помощью эквивалентных преобразований. Для этого выполняется следующая последовательность действий:

1)с помощью дистрибутивного закона переходят к конъюнкциям: x (y z)= xy xz ;

2)удаляются лишние конъюнкции и повторения переменных в конъюнкциях с помощью

эквивалентностей: A AB = A , A A = A , A A = A ;

3) удаляются лишние константы с помощью эквивалентностей: A 1 = A , A 0 = A . Приведение логической функции к СКНФ можно осуществить двумя способами:

1)с помощью таблиц истинности;

2)с помощью эквивалентных преобразований; сначала строят КНФ, а затем СКНФ.

При использовании эквивалентных преобразований для приведения к КНФ выполняется следующая последовательность действий:

дизъюнкций;

4) удаляются лишние дизъюнкции и переменные в них с помощью эквивалентностей: A A = A , x x = x , x x =1;

22

5) удаляются лишние константы в элементарных дизъюнкциях: A 0 = A , A 1 =1 , A 1 =1 .

Переход от КНФ к СКНФ осуществляется с использованием эквивалентности A =(A x) (A x ). Рассмотрим последовательность действий для перехода от ДНФ к КНФ:

5.Минимизация логических функций

Вданном разделе рассматривается проблема минимизации логических функций как задача нахождения среди всех ДНФ, эквивалентных данной функции, той, которая содержит минимальное вхождение букв.

5.1. Основные определения

Импликантой функции f (x1,…, xn ) называется такая элементарная конъюнкция K над множеством {x1,…, xn}, что

K f (x1,…, xn )= f (x1,…, xn ) .

Пример 1

1.Формула поглощения x xy = x , xy − импликанта.

2.Рассмотрим функцию трех переменных, заданную в виде таблицы. СДНФ этой функции задается формулой

Упростим формулу u в примере 1, сделав слияние по переменной x1 в первых двух конъюнкциях и

нельзя отбросить какую-либо переменную так, чтобы получилась снова импликанта. Таким образом, x1 , x2 x3 − простые импликанты.

Дизъюнкция всех простых импликант функции называется сокращенной ДНФ. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1

Любая логическая функция представима и при том однозначно в виде сокращенной ДНФ.

Для рассмотренной в примерах 1 и 2 функции сокращенной ДНФ является x1 x2 x3 , так как в любой другой импликанте, соответствующей единичному набору, могут быть удалены переменные.

Дизъюнктивная нормальная форма называется минимальной, если она содержит наименьшее число букв среди всех ДНФ, эквивалентных ей.

Дизъюнктивная нормальная форма называется тупиковой, если отбрасывание любой конъюнкции или буквы приводит к ДНФ, которая не эквивалентна исходной ДНФ.

23

Определенные выше ДНФ − сокращенная, тупиковая и минимальная находятся в следующем соотношении. Тупиковая ДНФ получается из сокращенной путем удаления некоторых слагаемых. Минимальная ДНФ находится среди тупиковых.

5.2. Геометрическая интерпретация ДНФ

Множество всех наборов (α1,…,αn ) можно рассматривать как множество вершин n-мерного куба. Например, при n =3

Рис.2.1. Геометрическая интерпретация всех наборов функции трех переменных

наборов, в которых компоненты, соответствующие переменным элементарной конъюнкции, принимают фиксированные значения, а остальные компоненты равны 0 или 1. Интервалы обозначаются наборами, в которых указываются фиксированные значения переменных, а остальные

компоненты помечаются знаком «−».

Пример 4

Конъюнкциям K1 (x1, x2 , x3 )= x2 x3 , K2 (x1, x2 , x3 )= x1 соответствуют интервалы

NK1 ={(000),(100)}, NK2 ={(100),(101),(110),(111)}.

Этим интервалам соответствуют обозначения (− 00), (1 − −).

Если f (x1,…, xn )= g (x1,…, xn ) h(x1,…, xn ), то:

1)Ng N f , Nh N f ;

2)N f = Ng N f .

24