METOD

Присвоим логическим переменным А, В, С какое-либо высказывание: А – Пушкин А. С. – поэт, В – Пушкин А. С. – дуэлянт,

С – Пушкин А. С. доживет до 70 лет.

Логические операции заменим соответствующими логическими

связками:

А– Пушкин А. С. – не поэт;

В– Пушкин А. С. – не дуэлянт;

– и;

– Если …, то …

Составим предложение по формуле, заменяя логические переменные заданными высказываниями, а операции – логическими связками:

«Если Пушкин А. С. – не поэт и Пушкин А. С. – не дуэлянт, то Пушкин А. С. доживет до 70 лет».

В соответствии с правилами русского языка, избавимся от повторяющихся слов: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет».

Ответ: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет». IV тип. Нахождение значение истинности формулы, доказательство логических законов, доказательство тождественной истинности или ложности формул

Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: х, , , , . Кроме того, на порядок операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

Задание: вычислить значение логической формулы, предварительно указав

порядок действий X X Y ; Решение.

X X Y

X - первое действие;

X Y - второе действие;

X X Y - третье действие.

Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей – А В С.

Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей – В С. Сергей пошел в кинотеатр – С.

Из условия следует что формулы А В С = Т и В С = Т и С = Т (истинны). Составим таблицу истинности для данных высказываний и найдем значения переменных А и В в тех строках, где данные формулы принимают истинное значение (они выделены темным цветом):

Так высказывания А В С и В С и С истинны в двух случая: когда А – истинно или когда В – истинно, то в кинотеатр Сергей пошел либо с Андреем, либо с Владимиром (варианты, что пошли все трое или Сергей один – отклоняются).

Ответ: Сергей пошел с Андреем или с Сергеем. VI тип. Задачи на применение законов формальной логики

Задача. У каждой из трех одноклассниц Синельниковой, Красновой и Зелениной есть по одной ручке: у кого-то с зеленым стержнем, у другой с красным, у третьей

– с синим. Известно, что у каждой подружки ручка цветом не соответствующим фамилии. Когда одноклассник попытался выяснить у какой подружки, какая ручка, Синельникова сказала, что у нее однозначно нет зеленой ручки. Какого цвета ручка у каждой из подружек?

Решение.

а) Решим задачу используя двухмерную таблицу, в столбцах перечислим цвета стержней: с – синий, з – зеленый, к – красный; в строках – фамилии: С –

Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина. На пересечении строк и столбцов будем ставить знак «+», если у школьницы есть стержень соответствующего цвета, знак «–»

– если стержня нет (см. табл. 7.1.).

Таблица 7.1.

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы

с к з

С

К

З

б) Из условия следует, что у Синельниковой нет синей и зеленой ручки, у Красновой нет красной, у Зелениной отсутствует зеленая ручка. Поставим в соответствующих ячейках таблицы знаки «–» (табл. 7.2.):

Таблица 7.2.

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)

в) У Синельниковой нет ни зеленой, ни синей ручки, следовательно у нее может быть только красная ручка. Поэтому у других подружек уже не может быть красной ручки. Отобразим это в таблице 7.3.:

Таблица 7.3.

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)

г) Из таблицы 7. 3. очевидно, что синяя ручка может быть только у Зелениной, а зеленая ручка может быть только у Красновой. Получим итоговую таблицу (табл. 7.4.):

Таблица 7.4.

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (итог)

Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у Зелениной – синяя.

Примечание 1. Задачу можно решить и простым перебором вариантов, но фиксирование результатов рассуждений в таблице делает решение более наглядным и позволяет не упустить ни одну версию.

Примечание 2. Задача решается и с помощью графов. Рассмотрим подобное решение при тех же условиях задачи.

Графом на плоскости называется конечное множество точек плоскости, где некоторые из них соединены линиями. Точки – вершины графа; соединяющие их линии – ребра. Степень вершины графа – количество ребер, исходящих из этой вершины.

Решение.

более 2. Если в задаче участвуют три и более множества с несколькими элементами, то она решается с помощью графов.

Задачи для самостоятельного решения

I тип

Задача 1*. Определить является ли предложение высказыванием. Высказывания обозначить и определить их истинность:

а) Сегодня воскресенье.

б) Дисплей – это устройство ввода информации. в) Проверь домашнее задание.

г) Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

д) День был дождливым?

е) 19 делится на 5 без остатка. ж) Какой красивый дом!

з) Александр Сергеевич Пушкин – великий поэт серебряного века.

Задача 2*. Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

а) Купаясь в неположенном месте, человек может утонуть.

б) В повествовательном предложении ставится точка, а может быть многоточие.

в) Ленивому студенту трудно учиться.

г) Студента переводят на следующий курс, когда он не имеет задолженностей. д) Чапаев – герой гражданской войны, а также современных анекдотов.

е) Вода при температуре менее 0 градусов – лед.

ж) Проигравший теннисист выходит из соревнований.

Задача 3*. Для высказываний, сформулированных в задании 2, подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку.

Задача 4**. Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

а) Лампочка горит когда есть электричество. б) На яблоне растут яблоки.

в) У блондина белый цвет волос.

г) Спортсмен – олимпийский чемпион, следовательно он победитель Олимпийских игр.

д) Студент, не сдавший всех зачетов, не допускается до экзаменов. е) Зимой на улице холодно.

ж) Спортсмен вышел в полуфинал вследствие того, что выиграл четверть финала.

з) Встречаясь, люди приветствуют друг друга.

Задача 5**. Для высказываний, сформулированных в задании 4, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

Задача 6***. Определить из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

а) Чтобы сдать зачет студенту необходимо: решить все домашние задания, написать контрольную работу на положительную оценку, посещать все лекции. б) Порядочный человек извинится, а также постарается загладить вину, в случае, когда он кого-то сильно обидел.

в) Спортсмен будет дисквалифицирован в случае, когда он нарушает правила либо некорректно ведет себя по отношению к сопернику.

Задача 7**. Для высказываний, сформулированных в задании 6, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

II тип

Задача 8*. Представить высказывания в виде логических формул:

а) Если пойдешь гулять, то возьмешь с собой зонт или наденешь плащ. б) Человек голоден тогда и только тогда, когда он не умеет готовить.

Задача 9**. Представить высказывания в виде логических формул: а) Студент не сдал сессию, следовательно, он будет отчислен. б) Я буду отдыхать, если начнутся каникулы.

в) Неверно, что Земля плоская и вращается вокруг Солнца.

ж) Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето. Задача 10***. Представить предложения в виде логических формул, если это возможно:

а) Прочитай книгу и сходи в кино. б) Выучил уроки, если помыл посуду.

в) Если сдал экзамен или зачет, можешь отдохнуть с друзьями.

III тип.