Раздел V
4. Существуют ли предельные вероятности для цепи Маркова, управляемой матрицей перехода, (если да, то найдите их):
Решение.
Все вероятности лежат в интервале 0 ≤ рij ≤ 1
∑р1j = 0,5 + 0,5 = 1;
∑р2j = 0,3 + 0,7 = 1
Следовательно, к данной цепи применима теорема Маркова.
Так как матрица А не равна матрице А2, то предельные вероятности существуют.
Найдем предельные вероятности:
;
;
;
Проверка:
Верно.
Ответ: предельные вероятности существуют и равны р1 = 0,375, p2 = 0,625.
Раздел VI
5. По мишени ведутся выстрелы до первого попадания или до израсходования всех имеющихся патронов. Построить таблицу распределения, многоугольник распределения и функцию распределения случайной величины Х – числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна р = 0,3, а патронов всего 4.
Решение.
Возможные значения случайной величины Х: 1, 2, 3, 4.
р = 0,3 – вероятность попадания в мишень.
n = 4 – количество патронов.
Тогда ряд распределения величины Х имеет вид:
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Р |
0,3 |
0,21 |
0,147 |
0,343 |
Проверим условие нормировки:
Верно.
Построим многоугольник распределения случайной величины X .
Рис. 1. Многоугольник распределения СВ Х
Составим функцию распределения:
.
Функция распределения
имеет
вид:
F(X)
X
Рис. 2. Функци яраспределения СВ Х
Раздел VII
6. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Решение.
Математическое ожидание равно:
Дисперсия равна:
Ответ: математическое ожидание равно
,
а дисперсия равна
.
Раздел VIII
Получены следующие опытные данные. Распределение 1000 волокон хлопка по длине:
|
Длина волокон, мм. |
Число волокон |
Длина волокон, мм. |
Число волокон |
|
4,5 – 7,5 |
2 |
22,5 – 25,5 |
140 |
|
7,5 – 10,5 |
28 |
25,5 – 28,5 |
170 |
|
10,5 – 13,5 |
51 |
28,5 – 31,5 |
136 |
|
13,5 – 16,5 |
66 |
31,5 – 34,5 |
100 |
|
16,5 – 19,5 |
86 |
34,5 – 37,5 |
72 |
|
19,5 – 22,5 |
128 |
37,5 – 40,5 |
21 |
а) установить гипотетический закон распределения случайной величины;
б) найти его параметры;
в) вычислить гипотетические частоты;
г)
пользуясь критерием согласия
,
установить, согласуются ли опытные
данные с предположением о распределении
случайной величины по избранному
гипотетическому закону.
Уровень значимости принять равным *) 0,05 и **) 0,005.
Решение.
а) установить гипотетический закон распределения случайной величины;
Гипотетически установим в качестве закона распределения СВ Х – нормальный закон распределения.
б) найти его параметры;
Вычислим математическое ожидание:
а ≈ M(x) = 24,843 мм.
Вычислим генеральную дисперсию:
Вычислим среднее квадратичное отклонение:
в) вычислить гипотетические частоты;
Занесем расчеты в таблицу.
|
Величина интервала |
Количество волокон ni |
|
|
|
|
xi |
xi+1 |
|||
|
4,5 |
7,5 |
2 |
-2,80 |
-2,39 |
|
7,5 |
10,5 |
28 |
-2,39 |
-1,97 |
|
10,5 |
13,5 |
51 |
-1,97 |
-1,56 |
|
13,5 |
16,5 |
66 |
-1,56 |
-1,15 |
|
16,5 |
19,5 |
86 |
-1,15 |
-0,74 |
|
19,5 |
22,5 |
128 |
-0,74 |
-0,32 |
|
22,5 |
25,5 |
140 |
-0,32 |
0,09 |
|
25,5 |
28,5 |
170 |
0,09 |
0,50 |
|
28,5 |
31,5 |
136 |
0,50 |
0,92 |
|
31,5 |
34,5 |
100 |
0,92 |
1,33 |
|
34,5 |
37,5 |
72 |
1,33 |
1,74 |
|
37,5 |
40,5 |
21 |
1,74 |
2,15 |
|
|
|
|
npi |
|
-0,4974 |
-0,49155 |
0,00585 |
5,85 |
|
-0,49155 |
-0,4756 |
0,01595 |
15,95 |
|
-0,4756 |
-0,4406 |
0,035 |
35 |
|
-0,4406 |
-0,3749 |
0,0657 |
65,7 |
|
-0,3749 |
-0,2703 |
0,1046 |
104,6 |
|
-0,2703 |
-0,1255 |
0,1448 |
144,8 |
|
-0,1255 |
0,0359 |
0,1614 |
161,4 |
|
0,0359 |
0,1915 |
0,1556 |
155,6 |
|
0,1915 |
0,3212 |
0,1297 |
129,7 |
|
0,3212 |
0,4082 |
0,087 |
87 |
|
0,4082 |
0,4591 |
0,0509 |
50,9 |
|
0,4591 |
0,4842 |
0,0251 |
25,1 |
г) пользуясь критерием согласия
,
установить, согласуются ли опытные
данные с предположением о распределении
случайной величины по избранному
гипотетическому закону. Уровень
значимости принять равным 0,05 и 0,005.
|
i |
ni |
ni*=npi |
ni - npi |
|
|
|
1 |
30 |
21,80 |
8,2 |
67,24 |
3,084404 |
|
2 |
51 |
35 |
16 |
256 |
7,314286 |
|
3 |
66 |
65,7 |
0,3 |
0,09 |
0,00137 |
|
4 |
86 |
104,6 |
-18,6 |
345,96 |
3,307457 |
|
5 |
128 |
144,8 |
-16,8 |
282,24 |
1,949171 |
|
6 |
140 |
161,4 |
-21,4 |
457,96 |
2,837423 |
|
7 |
170 |
155,6 |
14,4 |
207,36 |
1,332648 |
|
8 |
136 |
129,7 |
6,3 |
39,69 |
0,306014 |
|
9 |
100 |
87 |
13 |
169 |
1,942529 |
|
10 |
72 |
50,9 |
21,1 |
445,21 |
8,746758 |
|
11 |
21 |
25,1 |
-4,1 |
16,81 |
0,669721 |
|
å |
|
31,49 |
|||
χ2набл = 31,49
k = s – 1 – 1 = 9 – число степеней свободы
χ2кр(0,05; 9) = 16,9
χ2кр(0,005; 9) = 23,2
Так как χ2кр < χ2набл при обоих уровнях значимости, то гипотезу о распределении СВ Х по нормальному закону отвергаем при уровнях значимости α = 0,05 и α = 0,005.
Ответ: следовательно, распределение волокон хлопка по длине не подчинено нормальному закону при уровнях значимости α = 0,05 и α = 0,005.