9.6. Применение метода зейделя для решения

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Метод Зейделя и простая итерация могут применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов (9.49) аналогично тому, как они применялись для решения систем линейных алгебраических уравнений (9.35) и (9.38) или (9.39) и (9.40). Все различие состоит в том, что вместо постоянных величин в итера- ционных процессах (9.39) или (9.40) при решении нелиней- ных уравнений узловых напряжений (9.49) необходимо ис- пользовать нелинейные токи в узлах. По методу простой итерации (i+1)-е приближение напряжения k-го узла оп- ределяется следующим выражением:

(9.63)

где - нелинейная функция, опреде- ляющая итерационный процесс простой итерации.

Если использовать вектор-функцию ,k-й элемент которой равен , то вектор-столбец узловых напряже- ний по методу простой итерации определяется с помощью следующего итерационного процесса, записанного в век- торной форме:

(9.64)

Итерационный процесс Зейделя определяется выражени- ем, аналогичным (9.40):

(9.65)

где - нелинейная функция, описывающая итерационный процесс Зейделя.

В расчетах на ЭВМ при замене комплексных перемен- ных на действительные по методу Зейделя определяются активные и реактивные напряжения узлов:

(9.66)

где - составляющие комплексной нелинейной функции , описывающей итерационный процесс Зейделя.

Расчетные выражения метода Зейделя легко получить, если разделить мнимую и действительную составляющие в правой части выражения (9.65). Если использовать век- тор-функцию , k-й элемент которой равен , то можно записать итерационный процесс Зейделя в вектор- ной форме, аналогичной (9.64).

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная. Для уско- рения сходимости метода Зейделя применяются ускоряю- щие коэффициенты, или метод неполной релаксации. Ис- пользование ускоряющих коэффициентов сводится к сле- дующему. Обозначим напряжение k-го узла, определенное на (i+1)-м шаге по обычным итерационным формулам (9.65). Ускоренное (i+1)-е приближение значе- ния напряжения k-го узла определяется по формуле

(9.67)

где - поправка по напряжению k-го узла на (i+1)-м шаге; t- ускоряющий коэффициент. Напряжение , вычисленное с ускорением, принимается в качестве исходного при расчете следующего, (i+2) -го шага.

В случае t=1 получим обычный итерационный процесс метода Зейделя.

Метод Зейделя нашел широкое применение в расчетах установившихся режимов, в особенности на ранних этапах использования ЭВМ. Основное достоинство метода в том, что он легко программируется и требует малой оперативной памяти. Недостаток метода - в медленной сходимости. Ме- тод Зейделя особенно медленно сходится, а в ряде случаев и расходится, в расчетах установившихся режимов электри- ческих систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансфор- маторами с очень малым сопротивлением обмотки среднего напряжения и для электрических систем с сильной неодно- родностью параметров. Метод Зейделя также плохо схо- дится либо расходится в расчетах режимов, близких к пре- дельным по устойчивости.