9.5. Применение метода гаусса и матрицы zу

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Система нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов имеет следующую особенность. Эта система уравнений линейна слева и нелинейна справа. Сравним линейные уравнения узловых напряжений (9.15) и нелинейные уравнения (9.50). Левые их части одинако- вы и равны произведению матрицы проводимостей узлов на вектор-столбец переменных- напряжений узлов. Именно в этом смысле нелинейная система уравнений узловых на- пряжений в форме баланса токов линейна слева. Нелиней- ность системы (9.50) состоит только в наличии нелинейных правых частей. Физически эта особенность определяется тем, что все параметры схемы замещения электрической си- стемы линейны, кроме источников токов . Иногда го- ворят, что продольная часть схемы замещения линейна, а поперечная- нелинейна.

Поскольку система уравнений узловых напряжений не- линейна лишь в правой части, для ее решений можно при- менить метод Гаусса и матрицы Z_У.

Метод Гаусса при расчете нелинейных уравнений узло- вых напряжений можно использовать на каждом шаге итерационного процесса, считая систему нелинейных уравне- ний узловых напряжений линейной на данном шаге. Зада- димся начальными приближениями переменных . Опре- делим правые части в нелинейной системе уравнений узло- вых напряжений в форме баланса токов (9.49) или (9.50), т. е. вычислим элементы вектор-столбца при :

(9.55)

Полагаем, что токи в узлах постоянны и определяются начальными приближениями узловых напряжений. Тогда уравнения узловых напряжений (9.49) превращаются в си-стему линейных алгебраических уравнений с правыми час- тями, вычисляемыми из (9.55):

(9.56)

В матричной форме линейную систему (9.56) можно за- писать следующим образом:

(9.57)

Решая систему (9.57), определяем первое приближение напряжений узлов , , . Далее переходим ко вто- рому шагу, т.е. определяем правые части (9.55) при значе- ниях узловых напряжений, равных их первым приближе- ниям:

(9.58)

Затем найдем второе приближение узловых напряже- ний, решая линейную систему с той же матрицей , и так далее до тех пор, пока процесс не сойдется. При этом каж- дый шаг итерационного процесса состоит из определения и решения системы линейных уравнений

(9.59)

(9.60)

где i - номер шага.

Для решения линейной системы уравнений узловых на- пряжений (9.60) на каждом шаге итерационного процесса целесообразно использовать метод исключения по Гауссу. В этом случае система с комплексными переменными пре- образуется в систему с действительными переменными. Для эффективного решения линейных уравнений установивше- гося режима по Гауссу необходимо учитывать слабую за- полненность матрицу узловых проводимостей (гл. 10).

Матрица Z_У может использоваться на каждом шаге ите- рационного процесса, определяемого уравнениями (9.60). Напомним, что матрица собственных и взаимных сопротив- лений узлов является обратной по отношению к матрице узловых проводимостей, т. е.

. (9.61)

На каждом шаге итерационного процесса с матрицей Z_У узловые напряжения определяются по выражению

, (9.62)

где - вектор-столбец, каждый элемент которого равен напряжению балансирующего узла; -вектор-стол- бец задающих токов, при этом его k-й элемент равен .

Основное достоинство расчета установившегося режима с помощью матрицы узловых сопротивлений- быстрая сходимость. Однако существенным недостатком этого ме- тода является вычисление и хранение матрицы Z_У, в кото- рой нет нулевых элементов. Применение этого метода для расчетов режимов сложных электрических систем с боль- шим количеством узлов практически невозможно без спе- циальных методов эквивалентирования и, кроме того, тре- бует использования ЭВМ с большой оперативной памятью либо увеличения времени расчетов за счет многократного использования внешней памяти.

Расчет установившегося режима при решении на каж- дом шаге итерационного процесса системы линейных урав- нений (9.60) методом Гаусса требует столько же шагов, сколько и расчет с использованием матрицы узловых со- противлений. Но при этом меньше необходимая оператив- ная память ЭВМ и меньше количество арифметических опе- раций. К недостаткам первого метода можно отнести некото- рое усложнение программы расчета, поскольку в ряде случа- ев нельзя заранее указать требуемый объем памяти ЭВМ для расчета режима данной сети. Основное преимущество пер- вого метода перед использованием обратной матрицы со- стоит в повышении вычислительной эффективности при уче- те слабой заполненности матрицы Y_У.

Расчет установившегося режима с помощью матрицы узловых сопротивлений может оказаться эффективным при многократных вариантных расчетах для одной и той же си- стемы.

Следует отметить, что использование метода Гаусса в рассмотренном выше виде не нашло применения в расче- тах установившихся режимов, поскольку такой способ не имеет никаких преимуществ по сравнению с расчетом уста- новившегося режима по методу Ньютона (см. § 9.7).