1.Физические основы классической механики

1. Кинематика. Основные формулы и определения

Положение материальной точки, тела, системы в трехмерной прямоугольной системе координат определяется координатами X,Y,Z или радиусом – вектором r.

При этом

X=r_x, Y=r_y, Z=r_z.

Кинематические уравнения материальной точки или центра масс твердого тела :

X=r_x=f₁ (t); Y=r_y=f₂ (t); Z=r_z=f₃ (t),

где f₁(t), f₂(t), f₃(t) – некоторые функции времени.

Перемещение – вектор, проведенный из начального положения материальной точки в конечное и равный приращению радиус-вектора

r=r₂-r₁.

Mгновенная линейная скорость – векторная физическая величина, характеризующая состояние движения, показывающая, как изменяется перемещение в единицу времени, численно равная первой производной от перемещения по времени:

.

Проекции мгновенной скорости на оси координат X,Y,Z:

Cредняя путевая скорость

,

где S – путь, пройденный точкой за интервал времени t. Путь S в отличие от разности координат x=x₂ – x₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. S.

Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по численному значению и по напрвлению, равная первой производной от скорости по времени или второй производной от перемещения по времени:

.

Проекции ускорения на оси X, Y, Z:

; ; .

Модуль ускорения

а=.

Тангенциальное (касательное) ускорение – проекция ускорения на направление, касательное к траектории движения – a_t. Оно характеризует изменение модуля скорости и численно равно

_,

где v – численное значение скорости.

Нормальное (центростремительное) ускорение – проекция ускорения на положительную нормль к траектории движения – a_n. Оно характеризует изменение направления скорости и численно равно:

,

где R – радиус кривизны траектории в соответствующей ее точке.

Численное значение полного ускорения

.

Вращательное движение твердого тела характеризуется углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением.

Угол поворота – угол между проведенными через ось вращения неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жестко связанной с телом и вращающейся вместе с ним. Угол поворота – псевдовектор – вектор, численно равный углу между двумя положениями радиус R, направленный вдоль оси вращения и связанный с направлением вращения правилом векторного произведения (правилом правого винта).

Угловая скорость – векторная физическая величина, характеризующая быстроту вращения тела относительно оси вращения, показывающая, как изменяется угол поворота в единицу времени, равная первой производной от угла поворота по времени:

.

При равномерном вращении тела относительно неподвижной оси его угловая скорость численно равна

,

где  – приращение угла поворота за промежуток времени t.

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против часовой стрелки (либо по правилу правого винта) в правосторонней системе координат.

Угловое ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твердого тела.

При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси угловое ускорение численно равно

,

где – приращение угловой скорости за промежуток времени t.

В общем случае угловое ускорение – первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и угловая скорость при ускоренном вращении, и противоположно – при замедленном.

Между линейными и угловыми скоростями и ускорениями существует связь

v=r]; a=[r]+[v]; a_t=[r]; a_n=[v];

a_t=r; a_n=²r=v²/r.

При равномерном вращении модуль угловой скорости неизменен:

=/t=2N/t=2/T; v=2r/T=r.

Гармонические колебания – периодически повторяющиеся за равные промежутки времени движения, при которых удаление точки от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:

x=x_o sin(t+_o),

где x – смещение, удаление точки от положения равновесия в данный момент времени;

x₀ – амплитуда колебаний, наибольшее удаление точки от положения равновесия;

(₀t+₀) – фаза колебаний, периодически изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный или волновой процесс;

₀ – начальная фаза колуебаний;

 – круговая или циклическая частота, =2/T=2;

T – период колебаний, время, за которое совершается одно полное колебание;

 – частота колебаний. Это число колебаний в единицу времени.

Скорость материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение:

.

Ускорение материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение:

Знак «минус» означает, что ускорение материальной точки при гармонических колебаниях направлено в сторону, противоположную смещению.

При сложении колебаний одного направления тело или материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях:

и

Cмещение результирующего колебания можно определить по формуле:

,

где x_o=– амплитуда результирующего колебания.

1. Примеры решения задач

1.1.1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси X имеет вид X=A+Bt+Ct², где A=2м, B=1 м/с, C=-0,5 м/с².

Найти: координату X, скорость v и ускорение a точки в момент времени t=2с.

Решение. Координату X найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A,B,C и времени t:

X=(2+12-0,5х²)=2 (м).

Мгновенная скорость относительно оси X есть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

В момент времени t=2с

v=(1-30,52)=-5 (м/с);

a=6(-0,5)2=-6 (м/с²).

Ответ: X=0 м; v=-5 м/c; a=-6 м/с².

1.1.2. Точка движется по кривой согласно уравнению x=6t-t³/8. Найти среднюю скорость движения точки в промежутке времени t₁=2, 0 до t₂=6,0c.

Решение. При движении материальной точки в некотором направлении, она может совершать движение как в одном, так и в другом направлении, поэтому перед решением такого типа задач необходимо провести исследование: 1) при каком значении времени t скорость точки равна нулю? 2) С каким по знаку ускорением движется точка?

1). Для определения момента времени t, при котором скорость движения равна нулю, находим

v=.

Решая полученное уравнение, имеем:

6-3t²/8=0; 3t²/8=6; t²=16; t=4(с).

Следовательно, в момент времени t=4с скорость материальной точки равна нулю.

2). Установим знак ускорения, с которым движется точка:

.

Следовательно, в момент времени t=4 с материальная точка, движущаяся в направлении возрастания x, изменит направление своего движения на противоположное.

По определению средняя скорость движения равна отношению пройденного пути к тому промежутку времени, в течение которого совершалось движение. В нашем случае

<v>=,

где – расстояние, пройденное точкой за время от t=0 до t₁;

–расстояние, пройденное точкой за время от t₁ до t₂;

t – время движения точки.

, .

Тогда

<v>=.

Подставляя численные значения, будем иметь

<v>=(м/с).

Ответ: <v>=3 м/с.

1.1.3. Маховик движется равноускоренно. Найти угол, который составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые 2 оборота.

Решение. Выберем любую точку маховика и сделаем чертеж. Из чертежа можно установить, что

tg=a_t/а_n.

Из законов кинематики вращательного движения известно, что

₀²-²=2.

Так как по условию задачи ₀=0, а  =2, а_t=r, a_n=²r, то ²=4N.

Тогда

tg=2/ (4N)=0,04; =217.

Ответ: =217.

1.1.4. По дуге окружности радиусом 10 м вращается точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 4,9 м/с. Вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60^o. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.

Решение. Известно, что нормальное ускорение характеризует изменение линейной скорости по направлению. Ее численное значение равно

a_n=v²/R, откуда v=(a_nR)^1/2.

Полное линейное ускорение

a=a_n+a_t.

Следовательно

a_n=(a²-a_t²)^1/2.

Из предварительно построенного чертежа можно установить, что

a=a_n/cos, тогда a_t=((a_n/cos)²-a_n²)^1/2=a_ntg.

Подставляя численные значения, будем иметь:

v=(4,910)^1/2=7 м/с; а_t=4,9 1,73=8,5 (м/с).

Ответ: v=7 м/с; а_t=8,5 м/с.

1.1.5. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебательных движениях, происходящих согласно уравнениям x=cost и y=2cos(t/2). Найти уравнение траектории движения точки и построить траекторию с соблюдением масштаба.

Решение. Для отыскания уравнения траектории движения точки необходимо из уравнений движения исключить время. В рассматриваемом случае применяем формулу косинуса половинного угла cos²/2=(1+cos)/2 или y=2cost/2=((1+cost)/2)^1/2, но cost=x, следовательно,

y=2((1+x)/2)^1/2, или y=(2(x+1))^1/2.

Полученное уравнение и является уравнением траектории движения, которое представляет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси OX. Из уравнений движения точки амплитуда колебаний точки по оси OX равна 1, по оси OY – 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты от -2 до +2.

Для построения траектории движения по его уравнению найдем значения y, соответствующие ряду значений x, удовлетворяющих условию x<1:

x	y=(2x+2)1/2	x	y=(2x+2)1/2
-1	0	0	1,41
-0,75	0,1	0,5	1,73
-0,5	1	1	2

По данным таблицы можно построить траекторию движения материальной точки.

1.1.6. Диск радиусом 0,1 м вращается согласно уравнению =10+20t-2t² Определить по величине и направлению полное ускорение точек на окружности диска для момента времени t=4с.

Решение. Точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения a_t, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения a_n, направленного к центру кривизны траектории:

a=a_t+a_n.

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

а_t=r, a_n=²r,

где  – угловая скорость тела;

 – его угловое ускорение;

r – расстояние точки от оси вращения.

Подставляя выражения a_t и a_n в формулу полного ускорения, будем иметь:

a=((r)²+(²r²)²)^1/2=r(²+⁴)^1/2.

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени. В нашем случае

=.

В момент времени t=4с угловая скорость точек на окружности диска

=(20-44)=4 (рад/с).

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени

Это выражение углового ускорения не содержит времени; следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не зависящее от времени.

Подставляя найденные значения  и , заданное значение r в формулу полного ускорения, имеем

a=0,1((-4)²+4⁴)^1/2=1,65 (м/с).

Направление полного ускорения определится, если найти углы, которые вектор полного ускорения образует с касательной к траектории или с нормалью к ней:

cos=a_t/a; сos=a_n/a.

По вышеприведенным формлам найдем значения a_t и a_n:

а_t=-40,1=-0,4 (м/с²);

а_n=440,1=1,6 (м/с²)).

Подставляя эти значения и значение полного ускорения для косинусов углов, будем иметь:

cos=0,4/1,65=2,42; cos=1,6/1,65=0,97,

что соответствует углам =76, =14.

Ответ: a=1,65 м/с²; =76, =14.

1.1.7. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x₁=10+t-2t² и x₂=3+2t+0,2t². В какой момент времени скорости этих точек одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в момент времени t=3с?

Решение. Известно, что линейная скорость численно равна первой производной от перемещения по времени. В нашем случае, так как x₁=10+t-2t² и x₂=3+2t+0,2t², то

v₁=dx₁/dt=1-4t и v₂=dx₂/dt=2+0,4t.

По условию задачи V₁=V₂, следовательно,

1-4t=2+0,4

откуда

-4,4t=1, t=-0,23(с).

Знак «минус» означает, что скорости точек были равны до начала отсчета времени.

Линейное ускорение численно равно первой производной от скорости по времени. В нашем случае

a₁=dv₁/dt=-4 (м/с²); a₂=dv₂/dt=0,4 (м/с²).

Ответ: t=-0,23 с; а₁=-4 м/с²; а₂=0,4 м/с².

1.1.8. Точка совершает гармонические колебания с частотой 10Гц. В момент, принятый за начальный, точка имел максимальное смещение x_max=1 мм. Написать уравнение колебаний точки.

Решение. В общем виде уравнение гармонических колебаний точки можно записать в виде

x=A sin(₀t+₀₁)

или

x=A cos(2₀t+₀₂),

где А – амплитуда колебаний;

₀ – цикуическая частота;

t – время;

₀₁, ₀₂ – начальные фазы.

По определению, амплитуда колебаний A=x_max. Циклическая частота  связана с частотой ₀ соотношением ₀=2₀.

Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. В момент времени t=0 уравнения гармонических колебаний примут вид

x_max=A sin₀₁, или x_max=A cos₀₂,

откуда начальные фазы колебаний

₀₁=arcsin(x_max/A)=arcsin1,

₀₂=arccos(x_max/A)=arccos1,

или

₀₁=(2k+1) /2, (k=0,1,2,...);

₀₂=2k, (k=0,1,2,...).

Изменение фазы на 2 не изменит состояние колебательного движения, поэтому можно принять k=0, тогда ₀₁=/2, а ₀₂=0.

С учетом полученных результатов, уравнения колебаний примут вид:

x=Asin(2₀t+/2), или x=Acos(2₀t).

2. Динамика. Основные формулы и определения